Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que deux droites sont coplanaires - Exercice 2

10 min
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On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=2t+1y=tz=t+3\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2t+1} \\ {y} & {=} & {-t} \\ {z} & {=} & {t+3} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} et (d2):{x=s+1y=2s+4z=2s+3\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {s+1} \\ {y} & {=} & {2s+4} \\ {z} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right. ss\in R\mathbb{R}
Question 1

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles coplanaires ?

Correction
Deux droites sont coplanaires si elles soient parallèles ou soient sécantes.
 Etape 1 :\red{\text{ Etape 1 :}} On note u1(211)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right) et u2(122)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires , donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas parallèles.
 Etape 2 :\red{\text{ Etape 2 :}}
Il faut résoudre le système constitué des deux écritures paramétriques des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right), et déterminons les valeurs de tt et ss.

(d1)(d2){2t+1=s+1t=2s+4t+3=2s+3\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {s+1} \\ {-t} & {=} & {2s+4} \\ {t+3} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right. avec la première ligne on exprime ss en fonction de tt.
(d1)(d2){2t=st=2s+4t+3=2s+3\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {2s+4} \\ {t+3} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right. on remplace ensuite ss dans la 22ème équation et dans la 33ème pour déterminer la valeur de tt.
(d1)(d2){2t=st=2×(2t)+4t+3=2×(2t)+3\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {2\times \left(2t\right)+4} \\ {t+3} & {=} & {-2\times \left(2t\right)+3} \end{array}\right. équivaut successivement à
(d1)(d2){2t=st=4t+4t+3=4t+3\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {4t+4} \\ {t+3} & {=} & {-4t+3} \end{array}\right.
(d1)(d2){2t=s5t=45t=0\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-5t} & {=} & {4} \\ {5t} & {=} & {0} \end{array}\right.
(d1)(d2){2t=st=45t=0\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {-\frac{4}{5} } \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.
Ici, il y a deux valeurs de tt différents, ce qui est  impossible .\red{\text{ impossible .}}
Dans ce cas, les deux droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas sécantes.
Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont donc pas coplanaires.