Montrer que deux droites sont coplanaires - Exercice 2

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ On note $$\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right)$$ respectivement les vecteurs directeurs des droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires , donc les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas parallèles.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$

$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t+1} & {=} & {s+1} \\ {-t} & {=} & {2s+4} \\ {t+3} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right.$$ avec la première ligne on exprime $$s$$ en fonction de $$t$$.
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {2s+4} \\ {t+3} & {=} & {-2s+3} \end{array}\right.$$ on remplace ensuite $$s$$ dans la $$2$$^ème équation et dans la $$3$$^ème pour déterminer la valeur de $$t$$.
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {2\times \left(2t\right)+4} \\ {t+3} & {=} & {-2\times \left(2t\right)+3} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-t} & {=} & {4t+4} \\ {t+3} & {=} & {-4t+3} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {-5t} & {=} & {4} \\ {5t} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {2t} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {-\frac{4}{5} } \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Ici, il y a deux valeurs de $$t$$ différents, ce qui est $$\red{\text{ impossible .}}$$
Dans ce cas, les deux droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas sécantes.
Les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont donc pas coplanaires.