Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que deux droites sont coplanaires - Exercice 1

10 min
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On donne les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) de représentations paramétriques suivantes
(d1):{x=t+1y=2t1z=3t+4\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+1} \\ {y} & {=} & {2t-1} \\ {z} & {=} & {3t+4} \end{array}\right. tt\in R\mathbb{R} et (d2):{x=sy=2s3z=2s+6\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {s} \\ {y} & {=} & {2s-3} \\ {z} & {=} & {-2s+6} \end{array}\right. ss\in R\mathbb{R}
Question 1

Les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont-elles coplanaires ?

Correction
Deux droites sont coplanaires si elles soient parallèles ou soient sécantes.
 Etape 1 :\red{\text{ Etape 1 :}} On note u1(123)\overrightarrow{u_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right) et u2(122)\overrightarrow{u_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right) respectivement les vecteurs directeurs des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires , donc les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) ne sont pas parallèles.
 Etape 2 :\red{\text{ Etape 2 :}}
Il faut résoudre le système constitué des deux écritures paramétriques des droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right), et déterminons les valeurs de tt et ss.

(d1)(d2){t+1=s2t1=2s33t+4=2s+6\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {2s-3} \\ {3t+4} & {=} & {-2s+6} \end{array}\right. avec la première ligne on exprime ss en fonction de tt, puis on remplace ensuite ss dans la 22ème équation et dans la 33ème pour déterminer la valeur de tt.
(d1)(d2){t+1=s2t1=2×(t+1)33t+4=2×(t+1)+6\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {2\times \left(-t+1\right)-3} \\ {3t+4} & {=} & {-2\times \left(-t+1\right)+6} \end{array}\right.
(d1)(d2){t+1=s2t1=2t13t+4=2t+4\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {2t-1} & {=} & {-2t-1} \\ {3t+4} & {=} & {2t+4} \end{array}\right.
(d1)(d2){t+1=s4t=0t=0\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {4t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.
(d1)(d2){t+1=st=0t=0\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {-t+1} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right.
Ici, les valeurs de tt sont égales, on peut ainsi définir ss.
(d1)(d2){1=st=0t=0\left(d_{1} \right)\cap \left(d_{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {s} \\ {t} & {=} & {0} \\ {t} & {=} & {0} \end{array}\right. On remplace maintenant les valeurs de tt et ss respectivement dans les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
(d1):{x=0+1=1y=2×01=1z=3×0+4=4\left(d_{1} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {0+1} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {2\times 0-1} & {=} & {-1} \\ {z} & {=} & {3\times 0+4} & {=} & {4} \end{array}\right. et (d2):{x=1=1y=2×13=1z=2×1+6=4\left(d_{2} \right):\left\{\begin{array}{ccccc} {x} & {=} & {1} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {2\times 1-3} & {=} & {-1} \\ {z} & {=} & {-2\times 1+6} & {=} & {4} \end{array}\right.
Notons I(1;1;4)I\left(1;-1;4\right) le point d'intersection entre les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right).
Il en résulte que les droites (d1)\left(d_{1} \right) et (d2)\left(d_{2} \right) sont coplanaires.