Montrer que des vecteurs sont coplanaires - Exercice 3

5 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(\mathrm{O};\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u→(1;1;−1)\overrightarrow{u} \left(1;1;-1\right) ,v→(1;−2;1)\overrightarrow{v} \left(1;-2;1\right) et w→(2;−1;0)\overrightarrow{w} \left(2;-1;0\right)
Question 1

Montrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires.

Correction
Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Soient deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Nous avons donc :
(1;1;−1)=a(1;−2;1)+b(2;−1;0)\left(1;1;-1\right)=a\left(1;-2;1\right)+b\left(2;-1;0\right)
(1;1;−1)=(a;−2a;a)+(2b;−b;0)\left(1;1;-1\right)=\left(a;-2a;a\right)+\left(2b;-b;0\right)
(1;1;−1)=(a+2b;−2a−b;a)\left(1;1;-1\right)=\left(a+2b;-2a-b;a\right) . Nous obtenons le système suivant :
{a+2b=1−2a−b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {a+2b} & {=} & {1} \\ {-2a-b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{−1+2b=1−2×(−1)−b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {-1+2b} & {=} & {1} \\ {-2\times\left(-1\right)-b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{−1+2b=12−b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {-1+2b} & {=} & {1} \\ {2-b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{2b=1+1−b=1−2a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {2b} & {=} & {1+1} \\ {-b} & {=} & {1-2} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{2b=2−b=−1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {2b} & {=} & {2} \\ {-b} & {=} & {-1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{2b=2b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {2b} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
{b=22b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {\frac{2}{2}} \\ {b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.
Enfin : {b=1b=1a=−1\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {1} \\ {a} & {=} & {-1} \end{array}\right.

Il en résulte donc que u→=−v→+w→\overrightarrow{u} =-\overrightarrow{v} +\overrightarrow{w} . Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires.

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