Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que des vecteurs sont coplanaires - Exercice 2

5 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u→(10;8;26)\overrightarrow{u} \left(10;8;26\right) ,v→(1;2;3)\overrightarrow{v} \left(1;2;3\right) et w→(2;1;5)\overrightarrow{w} \left(2;1;5\right)
Question 1

Montrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires.

Correction
Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Soient deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Nous avons donc :
(10;8;26)=a(1;2;3)+b(2;1;5)\left(10;8;26\right)=a\left(1;2;3\right)+b\left(2;1;5\right)
(10;8;26)=(a;2a;3a)+(2b;b;5b)\left(10;8;26\right)=\left(a;2a;3a\right)+\left(2b;b;5b\right)
(10;8;26)=(a+2b;2a+b;3a+5b)\left(10;8;26\right)=\left(a+2b;2a+b;3a+5b\right) . Nous obtenons le système suivant :
{a+2b=102a+b=83a+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a+2b} & {=} & {10} \\ {2a+b} & {=} & {8} \\ {3a+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=10−2b2a+b=83a+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {2a+b} & {=} & {8} \\ {3a+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=10−2b2×(10−2b)+b=83×(10−2b)+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {2\times \left(10-2b\right)+b} & {=} & {8} \\ {3\times \left(10-2b\right)+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=10−2b20−4b+b=830−6b+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {20-4b+b} & {=} & {8} \\ {30-6b+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=10−2b20−3b=830−b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {20-3b} & {=} & {8} \\ {30-b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=10−2b−3b=8−20−b=26−30\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {-3b} & {=} & {8-20} \\ {-b} & {=} & {26-30} \end{array}\right.
{a=10−2b−3b=−12−b=−4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {-3b} & {=} & {-12} \\ {-b} & {=} & {-4} \end{array}\right.
{a=10−2bb=−12−3b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {b} & {=} & {\frac{-12}{-3} } \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=10−2bb=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=10−2×4b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2\times 4} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=10−8b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-8} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
Enfin : {a=2b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
Il en résulte donc que u→=2v→+4w→\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{v} +4\overrightarrow{w} . Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires.