Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que des vecteurs sont coplanaires - Exercice 1

5 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u(10;8;26)\overrightarrow{u} \left(10;8;26\right) ,v(1;2;3)\overrightarrow{v} \left(1;2;3\right) et w(2;1;5)\overrightarrow{w} \left(2;1;5\right)
Question 1

Montrer que les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires.

Correction
Les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : u=av+bw\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Soient deux réels aa et bb tels que : u=av+bw\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
Nous avons donc :
(10;8;26)=a(1;2;3)+b(2;1;5)\left(10;8;26\right)=a\left(1;2;3\right)+b\left(2;1;5\right)
(10;8;26)=(a;2a;3a)+(2b;b;5b)\left(10;8;26\right)=\left(a;2a;3a\right)+\left(2b;b;5b\right)
(10;8;26)=(a+2b;2a+b;3a+5b)\left(10;8;26\right)=\left(a+2b;2a+b;3a+5b\right) . Nous obtenons le système suivant :
{a+2b=102a+b=83a+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a+2b} & {=} & {10} \\ {2a+b} & {=} & {8} \\ {3a+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=102b2a+b=83a+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {2a+b} & {=} & {8} \\ {3a+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=102b2×(102b)+b=83×(102b)+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {2\times \left(10-2b\right)+b} & {=} & {8} \\ {3\times \left(10-2b\right)+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=102b204b+b=8306b+5b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {20-4b+b} & {=} & {8} \\ {30-6b+5b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=102b203b=830b=26\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {20-3b} & {=} & {8} \\ {30-b} & {=} & {26} \end{array}\right.
{a=102b3b=820b=2630\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {-3b} & {=} & {8-20} \\ {-b} & {=} & {26-30} \end{array}\right.
{a=102b3b=12b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {-3b} & {=} & {-12} \\ {-b} & {=} & {-4} \end{array}\right.
{a=102bb=123b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {b} & {=} & {\frac{-12}{-3} } \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=102bb=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2b} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=102×4b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-2\times 4} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
{a=108b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {10-8} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
Enfin : {a=2b=4b=4\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {2} \\ {b} & {=} & {4} \\ {b} & {=} & {4} \end{array}\right.
Il en résulte donc que u=2v+4w\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{v} +4\overrightarrow{w} . Les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont coplanaires.