Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que des vecteurs forment une base - Exercice 3

6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). Les vecteurs i→\overrightarrow{i}, j→\overrightarrow{j} et k→\overrightarrow{k} forment donc une base de l'espace. On considère les vecteurs u→=i→+k→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} ; v→=2j→+2k→\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k} et w→=3i→+7j→+k→\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}
Question 1

Démontrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ,v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base de l'espace.

Correction
Nous savons que u→=i→+k→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} ainsi les coordonnées de u→\overrightarrow{u} sont u→(1;0;1)\overrightarrow{u} \left(1;0;1\right)
Nous savons que v→=2j→+2k→\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k} ainsi les coordonnées de v→\overrightarrow{v} sont v→(0;2;2)\overrightarrow{v} \left(0;2;2\right)
Nous savons que w→=3i→+7j→+k→\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k} ainsi les coordonnées de w→\overrightarrow{w} sont w→(3;7;1)\overrightarrow{w} \left(3;7;1\right)
  • Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au→+bv→+cw→=0→⇒a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
  • Autrement dit, les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.\red{\text{ne sont pas coplanaires.}}
    • Soient aa, bb et cc trois réels tels que : au→+bv→+cw→=0→a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} . Il vient alors que :
    a(1;0;1)+b(0;2;2)+c(3;7;1)=(0;0;0)a\left(1;0;1\right)+b\left(0;2;2\right)+c\left(3;7;1\right)=\left(0;0;0\right)
    (a;0;a)+(0;2b;2b)+(3c;7c;c)=(0;0;0)\left(a;0;a\right)+\left(0;2b;2b\right)+\left(3c;7c;c\right)=\left(0;0;0\right)
    (a+3c;2b+7c;a+2b+c)=(0;0;0)\left(a+3c;2b+7c;a+2b+c\right)=\left(0;0;0\right)
    Nous obtenons ainsi le système suivant :
    {a+3c=02b+7c=0a+2b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a+3c} & {=} & {0} \\ {2b+7c} & {=} & {0} \\ {a+2b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=−3c2b=−7ca+2b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{a}}} & {=} & {{\color{blue}{-3c}}} \\ {{\color{red}{2b}}} & {=} & {{\color{red}{-7c}}} \\ {{\color{blue}{a}}+{\color{red}{2b}}+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=−3c2b=−7c−3c−7c+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {-3c-7c+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=−3c2b=−7c−9c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {-9c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=−3c2b=−7cc=0−9\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {c} & {=} & {\frac{0}{-9} } \end{array}\right.
    {a=−3c2b=−7cc=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=−3×02b=−7×0c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3\times 0} \\ {2b} & {=} & {-7\times 0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=02b=0c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=0b=02c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {\frac{0}{2} } \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {a=0b=0c=0\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    Or les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au→+bv→+cw→=0→⇒a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
    Nous venons de montrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base de l’espace.\red{\text{forment une base de l'espace.}}