Montrer que des vecteurs forment une base - Exercice 3

Nous savons que $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$$ ainsi les coordonnées de $$\overrightarrow{u}$$ sont $$\overrightarrow{u} \left(1;0;1\right)$$
Nous savons que $$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$$ ainsi les coordonnées de $$\overrightarrow{v}$$ sont $$\overrightarrow{v} \left(0;2;2\right)$$
Nous savons que $$\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$$ ainsi les coordonnées de $$\overrightarrow{w}$$ sont $$\overrightarrow{w} \left(3;7;1\right)$$
Soient $$a$$, $$b$$ et $$c$$ trois réels tels que : $$a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0}$$ . Il vient alors que :
$$a\left(1;0;1\right)+b\left(0;2;2\right)+c\left(3;7;1\right)=\left(0;0;0\right)$$
$$\left(a;0;a\right)+\left(0;2b;2b\right)+\left(3c;7c;c\right)=\left(0;0;0\right)$$
$$\left(a+3c;2b+7c;a+2b+c\right)=\left(0;0;0\right)$$
Nous obtenons ainsi le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a+3c} & {=} & {0} \\ {2b+7c} & {=} & {0} \\ {a+2b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {{\color{blue}{a}}} & {=} & {{\color{blue}{-3c}}} \\ {{\color{red}{2b}}} & {=} & {{\color{red}{-7c}}} \\ {{\color{blue}{a}}+{\color{red}{2b}}+c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {-3c-7c+c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {-9c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {c} & {=} & {\frac{0}{-9} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3c} \\ {2b} & {=} & {-7c} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {-3\times 0} \\ {2b} & {=} & {-7\times 0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {\frac{0}{2} } \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Or les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ ; $$\overrightarrow{v}$$ et $$\overrightarrow{w}$$ forment une base si et seulement il existe trois réels $$a$$, $$b$$ et $$c$$ tels que $$a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0$$ .
Nous venons de montrer que les vecteurs $$\overrightarrow{u}$$ ; $$\overrightarrow{v}$$ et $$\overrightarrow{w}$$ $$\red{\text{forment une base de l'espace.}}$$