Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que des vecteurs forment une base - Exercice 2

6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u(5;11;12)\overrightarrow{u} \left(5;11;12\right) ,v(1;4;5)\overrightarrow{v} \left(1;4;5\right) et w(1;1;1)\overrightarrow{w} \left(1;1;1\right)
Question 1

Démontrer que les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base de l'espace.

Correction
  • Les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au+bv+cw=0a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
  • Autrement dit, les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.\red{\text{ne sont pas coplanaires.}}
  • Soient aa, bb et cc trois réels tels que : au+bv+cw=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} . Il vient alors que :
    a(5;11;12)+b(1;4;5)+c(1;1;1)=(0;0;0)a\left(5;11;12\right)+b\left(1;4;5\right)+c\left(1;1;1\right)=\left(0;0;0\right)
    (5a;11a;12a)+(b;4b;5b)+(c;c;c)=(0;0;0)\left(5a;11a;12a\right)+\left(b;4b;5b\right)+\left(c;c;c\right)=\left(0;0;0\right)
    (5a+b+c;11a+4b+c;12a+5b+c)=(0;0;0)\left(5a+b+c;11a+4b+c;12a+5b+c\right)=\left(0;0;0\right)
    Nous obtenons ainsi le système suivant :
    {5a+b+c=011a+4b+c=012a+5b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {5a+b+c} & {=} & {0} \\ {11a+4b+c} & {=} & {0} \\ {12a+5b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5ab11a+4b+c=012a+5b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {11a+4b+c} & {=} & {0} \\ {12a+5b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5ab11a+4b5ab=012a+5b5ab=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {11a+4b-5a-b} & {=} & {0} \\ {12a+5b-5a-b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5ab6a+3b=07a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {6a+3b} & {=} & {0} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons diviser par 33 la ligne 22 .
    {c=5ab2a+b=07a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {2a+b} & {=} & {0} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2a7a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2a7a+4×(2a)=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a+4\times \left(-2a\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2a7a8a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a-8a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2aa=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {-a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2aa=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {-a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2aa=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=2×0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2\times 0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5abb=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=5×00b=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5\times 0-0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=0b=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    Or les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au+bv+cw=0a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
    Nous venons de montrer que les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base de l’espace.\red{\text{forment une base de l'espace.}}