Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace
Montrer que des vecteurs forment une base - Exercice 2
6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i;j;k). On considère les vecteurs u(5;11;12) ,v(1;4;5) et w(1;1;1)
Question 1
Démontrer que les vecteurs u ; v et w forment une base de l'espace.
Correction
Les vecteurs u ; v et w forment une base si et seulement il existe trois réels a, b et c tels que au+bv+cw=0⇒a=b=c=0 .
Autrement dit, les vecteurs u ; v et wne sont pas coplanaires.
Soient a, b et c trois réels tels que : au+bv+cw=0 . Il vient alors que : a(5;11;12)+b(1;4;5)+c(1;1;1)=(0;0;0) (5a;11a;12a)+(b;4b;5b)+(c;c;c)=(0;0;0) (5a+b+c;11a+4b+c;12a+5b+c)=(0;0;0) Nous obtenons ainsi le système suivant : ⎩⎨⎧5a+b+c11a+4b+c12a+5b+c===000 ⎩⎨⎧c11a+4b+c12a+5b+c===−5a−b00 ⎩⎨⎧c11a+4b−5a−b12a+5b−5a−b===−5a−b00 ⎩⎨⎧c6a+3b7a+4b===−5a−b00 . Nous allons diviser par 3 la ligne 2 . ⎩⎨⎧c2a+b7a+4b===−5a−b00 ⎩⎨⎧cb7a+4b===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cb7a+4×(−2a)===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cb7a−8a===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cb−a===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cb−a===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cba===−5a−b−2a0 ⎩⎨⎧cba===−5a−b−2×00 ⎩⎨⎧cba===−5a−b00 ⎩⎨⎧cba===−5×0−000 ⎩⎨⎧cba===000 Or les vecteurs u ; v et w forment une base si et seulement il existe trois réels a, b et c tels que au+bv+cw=0⇒a=b=c=0 . Nous venons de montrer que les vecteurs u ; v et wforment une base de l’espace.