Montrer que des vecteurs forment une base - Exercice 2

6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i→;j→;k→)\left(\mathrm{O};\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u→(5;11;12)\overrightarrow{u} \left(5;11;12\right) ,v→(1;4;5)\overrightarrow{v} \left(1;4;5\right) et w→(1;1;1)\overrightarrow{w} \left(1;1;1\right)
Question 1

Démontrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base de l'espace.

Correction
  • Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au→+bv→+cw→=0→⇒a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
  • Autrement dit, les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.\red{\text{ne sont pas coplanaires.}}
    • Soient aa, bb et cc trois réels tels que : au→+bv→+cw→=0→a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} . Il vient alors que :
    a(5;11;12)+b(1;4;5)+c(1;1;1)=(0;0;0)a\left(5;11;12\right)+b\left(1;4;5\right)+c\left(1;1;1\right)=\left(0;0;0\right)
    (5a;11a;12a)+(b;4b;5b)+(c;c;c)=(0;0;0)\left(5a;11a;12a\right)+\left(b;4b;5b\right)+\left(c;c;c\right)=\left(0;0;0\right)
    (5a+b+c;11a+4b+c;12a+5b+c)=(0;0;0)\left(5a+b+c;11a+4b+c;12a+5b+c\right)=\left(0;0;0\right)
    Nous obtenons ainsi le système suivant :
    {5a+b+c=011a+4b+c=012a+5b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {5a+b+c} & {=} & {0} \\ {11a+4b+c} & {=} & {0} \\ {12a+5b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−b11a+4b+c=012a+5b+c=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {11a+4b+c} & {=} & {0} \\ {12a+5b+c} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−b11a+4b−5a−b=012a+5b−5a−b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {11a+4b-5a-b} & {=} & {0} \\ {12a+5b-5a-b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−b6a+3b=07a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {6a+3b} & {=} & {0} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right. . Nous allons diviser par 33 la ligne 22 .
    {c=−5a−b2a+b=07a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {2a+b} & {=} & {0} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2a7a+4b=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a+4b} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2a7a+4×(−2a)=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a+4\times \left(-2a\right)} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2a7a−8a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {7a-8a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2a−a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {-a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2a−a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {-a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2aa=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2a} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=−2×0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {-2\times 0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5a−bb=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5a-b} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=−5×0−0b=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {-5\times 0-0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {c=0b=0a=0\left\{\begin{array}{ccc} {c} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {0} \\ {a} & {=} & {0} \end{array}\right.
    Or les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base si et seulement il existe trois réels aa, bb et cc tels que au→+bv→+cw→=0→⇒a=b=c=0a\overrightarrow{u} +b\overrightarrow{v} +c\overrightarrow{w} =\overrightarrow{0} \Rightarrow a=b=c=0 .
    Nous venons de montrer que les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} forment une base de l’espace.\red{\text{forment une base de l'espace.}}

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