Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que des vecteurs forment une base

Exercice 1

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH ci-dessous :
1

Justifier que (AB,AD,AE)\left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AE} \right) est une base de l'espace.

Correction
2

Justifier que (A;AB,AD,AE)\left(A;\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AE} \right) est un repère de l'espace.

Correction

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). On considère les vecteurs u(5;11;12)\overrightarrow{u} \left(5;11;12\right) ,v(1;4;5)\overrightarrow{v} \left(1;4;5\right) et w(1;1;1)\overrightarrow{w} \left(1;1;1\right)
1

Démontrer que les vecteurs u\overrightarrow{u} ; v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base de l'espace.

Correction

Exercice 3

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;i;j;k)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right). Les vecteurs i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k} forment donc une base de l'espace. On considère les vecteurs u=i+k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k} ; v=2j+2k\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k} et w=3i+7j+k\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}
1

Démontrer que les vecteurs u\overrightarrow{u} ,v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} forment une base de l'espace.

Correction
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