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Montrer que 4 points sont coplanaires - Exercice 4

6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O,i→,j→,k→)(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On considère les points A(2;3;1)A\left(2;3;1\right) , B(0;2;2)B\left(0;2;2\right) , C(2;5;2)C\left(2;5;2\right) et D(4;0;−2)D\left(4;0;-2\right).
Question 1

Les quatre points sont-ils coplanaires ?

Correction
Les points A,B,CA,B,C et DD sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : AB→=aAC→+bAD→\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD}
Calculons maintenant les vecteurs : AB→,AC→\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD} .
AB→(−2−11)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right) , AC→(021)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) et AD→(2−3−3)\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-3} \end{array}\right)
AB→=aAC→+bAD→⇔(−2−11)=a(021)+b(2−3−3)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-3} \end{array}\right)
AB→=aAC→+bAD→⇔(−2−11)=(02aa)+(2b−3b−3b)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2a} \\ {a} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {2b} \\ {-3b} \\ {-3b} \end{array}\right)
On obtient le système suivant :
{2b=−22a−3b=−1a−3b=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {2b} & {=} & {-2} \\ {2a} & {-} & {3b} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3b} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=−222a−3b=−1a−3b=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {\frac{-2}{2} } \\ {2a} & {-} & {3b} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3b} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=−12a−3×(−1)=−1a−3×(−1)=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {-} & {3\times \left(-1\right)} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3\times \left(-1\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=−12a+3=−1a+3=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {+} & {3} & {=} & {-1} \\ {a} & {+} & {3} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=−12a=−1−3a=1−3\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {} & {} & {=} & {-1-3} \\ {a} & {} & {} & {=} & {1-3} \end{array}\right.
{b=−12a=−4a=−2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {} & {} & {=} & {-4} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{b=−1a=−42a=−2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {a} & {} & {} & {=} & {\frac{-4}{2} } \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{b=−1a=−2a=−2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
Il en résulte que AB→=−2AC→−AD→\overrightarrow{AB} =-2\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AD} .
Les points A,B,CA,B,C et DD sont donc coplanaires.

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