Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Montrer que 4 points sont coplanaires - Exercice 4

6 min
15
On donne les points A(2;3;1)A\left(2;3;1\right) , B(0;2;2)B\left(0;2;2\right) , C(2;5;2)C\left(2;5;2\right) et D(4;0;2)D\left(4;0;-2\right).
Question 1

Les quatre points sont-ils coplanaires ?

Correction
Les points A,B,CA,B,C et DD sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : AB=aAC+bAD\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD}
Calculons maintenant les vecteurs : AB,AC\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} et AD\overrightarrow{AD} .
AB(211)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right) , AC(021)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right) et AD(233)\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-3} \end{array}\right)
AB=aAC+bAD(211)=a(021)+b(233)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-3} \end{array}\right)
AB=aAC+bAD(211)=(02aa)+(2b3b3b)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2a} \\ {a} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {2b} \\ {-3b} \\ {-3b} \end{array}\right)
On obtient le système suivant :
{2b=22a3b=1a3b=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {2b} & {=} & {-2} \\ {2a} & {-} & {3b} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3b} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=222a3b=1a3b=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {\frac{-2}{2} } \\ {2a} & {-} & {3b} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3b} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=12a3×(1)=1a3×(1)=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {-} & {3\times \left(-1\right)} & {=} & {-1} \\ {a} & {-} & {3\times \left(-1\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=12a+3=1a+3=1\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {+} & {3} & {=} & {-1} \\ {a} & {+} & {3} & {=} & {1} \end{array}\right.
{b=12a=13a=13\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {} & {} & {=} & {-1-3} \\ {a} & {} & {} & {=} & {1-3} \end{array}\right.
{b=12a=4a=2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {2a} & {} & {} & {=} & {-4} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{b=1a=42a=2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {a} & {} & {} & {=} & {\frac{-4}{2} } \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{b=1a=2a=2\left\{\begin{array}{ccccc} {} & {} & {b} & {=} & {-1} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {-2} \end{array}\right.
Il en résulte que AB=2ACAD\overrightarrow{AB} =-2\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AD} .
Les points A,B,CA,B,C et DD sont donc coplanaires.