Montrer que 4 points sont coplanaires - Exercice 2

6 min
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L'espace est muni d'un repère orthonormé (O,i→,j→,k→)(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On considère les points A(1;0;−1)A\left(1;0;-1\right) , B(2;2;−4)B\left(2;2;-4\right) , C(3;−1;−2)C\left(3;-1;-2\right) et D(0;1;−1)D\left(0;1;-1\right).
Question 1

Les quatre points sont-ils coplanaires ?

Correction
Les points A,B,CA,B,C et DD sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : AB→=aAC→+bAD→\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD}
Calculons maintenant les vecteurs : AB→,AC→\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD} .
AB→(12−3)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) , AC→(2−1−1)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right) et AD→(−110)\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)
AB→=aAC→+bAD→⇔(12−3)=a(2−1−1)+b(−110)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)
AB→=aAC→+bAD→⇔(12−3)=(2a−a−a)+(−bb0)\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2a} \\ {-a} \\ {-a} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {-b} \\ {b} \\ {0} \end{array}\right)
AB→=aAC→+bAD→⇔{2a−b=1−a+b=2−a=−3⇔{2a−b=1−a+b=2a=3\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {-a} & {} & {} & {=} & {-3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {3} \end{array}\right.
Comme a=3a=3, on substitue aa dans les deux premières lignes et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour bb .
Cela donne :
{2a−b=1−a+b=2a=3\left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {3} \end{array}\right.
D'où : {b=5b=5a=3\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {5} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.
Il en résulte que AB→=3AC→+5AD→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC} +5\overrightarrow{AD} .
Les points A,B,CA,B,C et DD sont donc coplanaires.

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