Montrer que 4 points sont coplanaires - Exercice 2

Calculons maintenant les vecteurs : $$\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AD}$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)$$ , $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {-1} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2a} \\ {-a} \\ {-a} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {-b} \\ {b} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {-a} & {} & {} & {=} & {-3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Comme $$a=3$$, on substitue $$a$$ dans les deux premières lignes et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour $$b$$ .
Cela donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {2a} & {-} & {b} & {=} & {1} \\ {-a} & {+} & {b} & {=} & {2} \\ {a} & {} & {} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
D'où : $$\left\{\begin{array}{ccc} {b} & {=} & {5} \\ {b} & {=} & {5} \\ {a} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC} +5\overrightarrow{AD}$$.
Les points $$A,B,C$$ et $$D$$ sont donc coplanaires.