Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace
Montrer que 4 points sont coplanaires
Exercice 1
On donne les points A(1;4;−8) , B(2;6;−12) , C(5;1;9) et D(8;9;−9).
1
Les quatre points sont-ils coplanaires ?
Correction
Les points A,B,C et D sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que : AB=aAC+bAD
Calculons maintenant les vecteurs : AB,AC et AD. AB⎝⎛12−4⎠⎞ , AC⎝⎛4−317⎠⎞ et AD⎝⎛75−1⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛12−4⎠⎞=a⎝⎛4−317⎠⎞+b⎝⎛75−1⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛12−4⎠⎞=⎝⎛4a−3a17a⎠⎞+⎝⎛7b5b−b⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎩⎨⎧4a−3a17a++−7b5bb===12−4 Il nous faut donc résoudre ce système linéaire . ⎩⎨⎧4a−3a++−7b5bb===12−4−17a ⎩⎨⎧4a−3a++7b5bb===124+17a ⎩⎨⎧4a−3a++7×(4+17a)5×(4+17a)b===124+17a ⎩⎨⎧4a−3a++28+119a20+85ab===124+17a ⎩⎨⎧123a82ab===1−282−204+17a ⎩⎨⎧123a82ab===−27−184+17a ⎩⎨⎧aab===123−2782−184+17a ⎩⎨⎧aab===−419−4194+17a {ab==−4194+17×(−419) {ab==−4194111 Il en résulte que AB=−419AC+4111AD. Les points A,B,C et D sont donc coplanaires.
Exercice 2
On donne les points A(1;0;−1) , B(2;2;−4) , C(3;−1;−2) et D(0;1;−1).
1
Les quatre points sont-ils coplanaires ?
Correction
Les points A,B,C et D sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que : AB=aAC+bAD
Calculons maintenant les vecteurs : AB,AC et AD. AB⎝⎛12−3⎠⎞ , AC⎝⎛2−1−1⎠⎞ et AD⎝⎛−110⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛12−3⎠⎞=a⎝⎛2−1−1⎠⎞+b⎝⎛−110⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛12−3⎠⎞=⎝⎛2a−a−a⎠⎞+⎝⎛−bb0⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎩⎨⎧2a−a−a−+bb===12−3⇔⎩⎨⎧2a−aa−+bb===123 Comme a=3, on substitue a dans les deux premières lignes et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour b . Cela donne : ⎩⎨⎧2a−aa−+bb===123 D'où : ⎩⎨⎧bba===553 Il en résulte que AB=3AC+5AD. Les points A,B,C et D sont donc coplanaires.
Exercice 3
On donne les points A(0;0;1) , B(2;1;2) , C(−3;1;1) et D(7;1;3).
1
Les quatre points sont-ils coplanaires ?
Correction
Les points A,B,C et D sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que : AB=aAC+bAD
Calculons maintenant les vecteurs : AB,AC et AD. AB⎝⎛211⎠⎞ , AC⎝⎛−310⎠⎞ et AD⎝⎛712⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛211⎠⎞=a⎝⎛−310⎠⎞+b⎝⎛712⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛211⎠⎞=⎝⎛−3aa0⎠⎞+⎝⎛7bb2b⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎩⎨⎧−3aa++7bb2b===211⇔⎩⎨⎧−3aa++7bbb===2121 Comme b=21, on substitue b dans les deux premières lignes et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour a . Cela donne : ⎩⎨⎧−3aa++7×2121b===2121 ⎩⎨⎧−3aab===2−271−2121 ⎩⎨⎧−3aab===−232121 ⎩⎨⎧aab===−23÷(−3)2121 ⎩⎨⎧aab===212121 Il en résulte que AB=21AC+21AD. Les points A,B,C et D sont donc coplanaires.
Exercice 4
On donne les points A(2;3;1) , B(0;2;2) , C(2;5;2) et D(4;0;−2).
1
Les quatre points sont-ils coplanaires ?
Correction
Les points A,B,C et D sont coplanaires s'il existe deux réels a et b tels que : AB=aAC+bAD
Calculons maintenant les vecteurs : AB,AC et AD. AB⎝⎛−2−11⎠⎞ , AC⎝⎛0−2−1⎠⎞ et AD⎝⎛2−3−3⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛−2−11⎠⎞=a⎝⎛0−2−1⎠⎞+b⎝⎛2−3−3⎠⎞ AB=aAC+bAD⇔⎝⎛−2−11⎠⎞=⎝⎛0−2a−a⎠⎞+⎝⎛2b−3b−3b⎠⎞ On obtient le système suivant : ⎩⎨⎧−2a−a−−2b3b3b===−2−11 ⎩⎨⎧−2a−a−−b3b3b===2−2−11 ⎩⎨⎧−2a−a−−b3×(−1)3×(−1)===−1−11 ⎩⎨⎧−2a−a++b33===−1−11 ⎩⎨⎧−2a−ab===−1−1−31−3 ⎩⎨⎧−2a−ab===−1−4−2 ⎩⎨⎧aab===−1−2−42 ⎩⎨⎧aab===−122 Il en résulte que AB=2AC−AD. Les points A,B,C et D sont donc coplanaires.
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