Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

15 min
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ABCDA B C D est un tétraèdre. On note II le milieu de [AB],G[A B], G le point tel que GB→+GC→+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+ GD→=0→\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}, et KK le point tel que ACKDA C K D soit un parallélogramme.
Question 1

Montrer que AG→=13(AB→+AC→+AD→)\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}).

Correction
GB→+GC→+\red{\overrightarrow{G B}}+\pink{\overrightarrow{G C}}+ GD→=0→\green{\overrightarrow{G D}}=\overrightarrow{0}
On applique la relation de Chasles pour chaque vecteur avec le point AA.
GA→+AB→+GA→+AC→+GA→+AD→=0→\red{\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{AB}}+\pink{\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{AC}}+\green{\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{AD}}=\overrightarrow{0}
3GA→=−AB→−AC→−AD→3\overrightarrow{G A}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}
−3AG→=−AB→−AC→−AD→-3\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}
AG→=−13(−AB→−AC→−AD→)\overrightarrow{A G}=-\frac{1}{3}(-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D})
Ainsi :
AG→=13(AB→+AC→+AD→)\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D})
Question 2

Exprimer AK→\overrightarrow{A K} en fonction de AC→\overrightarrow{A C} et AD→\overrightarrow{A D}.

Correction
ACKDA C K D est un parallélogramme, on a alors : DK→=AC→\red{\overrightarrow{D K}=\overrightarrow{A C}}
Or d'après la relation de Chasles :
AK→=AD→+DK→\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A D}+\red{\overrightarrow{D K}}
D'où :
AK→=AD→+AC→\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A D}+\red{\overrightarrow{A C}}
Question 3

Exprimer IG→\overrightarrow{I G} en fonction de AB→,AC→\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} et AD→\overrightarrow{A D}.

Correction
D'après la relation de Chasles :
IG→=IA→+AG→\overrightarrow{I G}=\red{\overrightarrow{I A}}+\pink{\overrightarrow{A G}}
or IA→=−12AB→\red{\overrightarrow{I A}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}} et AG→=13(AB→+AC→+AD→)\pink{\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D})}
IG→=−12AB→+13AB→+13AC→+13AD→\overrightarrow{I G}=\red{-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}}+\pink{\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}}
Ainsi :
IG→=−16AB→+13AC→+13AD→\overrightarrow{I G}=-\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}
Question 4

Exprimer IK→\overrightarrow{I K} en fonction de AB→,AC→\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} et AD→\overrightarrow{A D}.

Correction
D'après la relation de Chasles :
IK→=IA→+AK→\overrightarrow{I K}=\red{\overrightarrow{I A}}+\green{\overrightarrow{A K}}
or IA→=−12AB→\red{\overrightarrow{I A}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}} et d'après la question 22 nous savons que AK→=AD→+AC→\green{\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}}
Ainsi :
IK→=−12AB→+AD→+AC→\overrightarrow{I K}=\red{-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}}+\green{\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}}
Question 5

En déduire que I,GI, G et KK sont alignés.

Correction
Comme :
IK→=−12AB→+AD→+AC→\overrightarrow{I K}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}
IK→=3(−16AB→+13AC→+16AD→)\overrightarrow{I K}=3\left(-\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A C}+\frac{1}{6}\overrightarrow{A D}\right)
D'après la question 33 nous savons que IG→=−16AB→+13AC→+16AD→\overrightarrow{I G}=-\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A C}+\frac{1}{6}\overrightarrow{A D}
Donc
IK→=3IG→\overrightarrow{I K}=3 \overrightarrow{I G}
: les vecteurs sont colinéaires, et comme ils ont le point II en commun, I,GI, G et KK sont alignés.

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