Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

8 min
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ABCDABCD est un tétraèdre, JJ est le milieu de [DC]\left[DC\right].
Soit GG le point vérifiant la relation vectorielle GB→+GC→+GD→=0→\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} +\overrightarrow{GD} =\overrightarrow{0}
Question 1

Faites une figure de la situation.

Correction
Question 2

Démontrer que les points B,GB,G et JJ sont alignés.

Correction
Nous savons que :
GB→+GC→+GD→=0→\overrightarrow{GB} +\red{\overrightarrow{GC}} +{\color{blue}{\overrightarrow{GD}}} =\overrightarrow{0}
On va utiliser la relation de Chasles :
GB→+GJ→+JC→+GJ→+JD→=0→\overrightarrow{GB} +\red{\overrightarrow{GJ} +\overrightarrow{JC}} +{\color{blue}{\overrightarrow{GJ} +\overrightarrow{JD}}} =\overrightarrow{0}
GB→+2GJ→+JC→+JD→=0→\overrightarrow{GB} +2\overrightarrow{GJ} +\overrightarrow{JC} +\overrightarrow{JD} =\overrightarrow{0}
Or le point JJ est le milieu de [DC]\left[DC\right] . Il vient alors que : JC→+JD→=0→\overrightarrow{JC} +\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}
On peut donc écrire que :
GB→+2GJ→+0→=0→\overrightarrow{GB} +2\overrightarrow{GJ} +\overrightarrow{0} =\overrightarrow{0}
GB→+2GJ→=0→\overrightarrow{GB} +2\overrightarrow{GJ} =\overrightarrow{0}
Ainsi :
GB→=−2GJ→\overrightarrow{GB} =-2\overrightarrow{GJ}

Les vecteurs GB→\overrightarrow{GB} et GJ→\overrightarrow{GJ} sont colinéaires.
Les points B,GB,G et JJ sont bien alignés.

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