Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Repreˊsenter  et  raisonner.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Représenter\;et\;raisonner.}
ABCDEFGHABCDEFGH est un cube.
II et JJ sont les points définis par DI→=13DC→\overrightarrow{DI} =\frac{1}{3} \overrightarrow{DC}   \; et   \; BJ→=23BC→\overrightarrow{BJ} =\frac{2}{3} \overrightarrow{BC}
Question 1

Exprimer les vecteurs EI→\overrightarrow{EI} , HJ→\overrightarrow{HJ} et HJ→\overrightarrow{HJ} en fonction des vecteurs DA→\overrightarrow{DA}, DE→\overrightarrow{DE} et DC→\overrightarrow{DC} .

Correction
Premieˋrement :\red{\text{Premièrement :}}
  • EI→=ED→+DI→=−DE→+13DC→\overrightarrow{EI} =\overrightarrow{ED} +\overrightarrow{DI} =-\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DC}
    • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
  • HF→=HG→+GF→=DA→+CD→=DA→−DC→\overrightarrow{HF} =\overrightarrow{HG} +\overrightarrow{GF} =\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC}
    • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
  • HJ→=HC→+CJ→=ED→+13CB→=−DE→+13DA→\overrightarrow{HJ} =\overrightarrow{HC} +\overrightarrow{CJ} =\overrightarrow{ED} +\frac{1}{3} \overrightarrow{CB} =-\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DA}
    • Question 2

    Démontrer que les vecteurs HF→\overrightarrow{HF} ; EI→\overrightarrow{EI} et HJ→\overrightarrow{HJ} sont coplanaires.

    Correction
    Les vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} sont coplanaires s'il existe deux réels aa et bb tels que : u→=av→+bw→\overrightarrow{u} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{w}
    Les vecteurs HF→\overrightarrow{HF} ; EI→\overrightarrow{EI} et HJ→\overrightarrow{HJ} sont coplanaires s'il existe deux réels xx et yy tels que :
    HF→=xEI→+yHJ→\overrightarrow{HF} =x\overrightarrow{EI} +y\overrightarrow{HJ}
    D'après la question 11, on sait que : EI→=−DE→+13DC→\overrightarrow{EI} =-\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DC} ; HF→=DA→−DC→\overrightarrow{HF} =\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC} et HJ→−DE→+13DA→\overrightarrow{HJ} -\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DA}
    Il vient alors que :
    DA→−DC→=x(−DE→+13DC→)+y(−DE→+13DA→)\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC} =x\left(-\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DC} \right)+y\left(-\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} \overrightarrow{DA} \right)
    DA→−DC→=−xDE→+13xDC→−yDE→+13yDA→\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC} =-x\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} x\overrightarrow{DC} -y\overrightarrow{DE} +\frac{1}{3} y\overrightarrow{DA}
    DA→−DC→=13yDA→+13xDC→−xDE→−yDE→\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC} =\frac{1}{3} y\overrightarrow{DA} +\frac{1}{3} x\overrightarrow{DC} -x\overrightarrow{DE} -y\overrightarrow{DE}
    DA→−DC→=13yDA→+13xDC→+(−x−y)DE→\overrightarrow{DA} -\overrightarrow{DC} =\frac{1}{3} y\overrightarrow{DA} +\frac{1}{3} x\overrightarrow{DC} +\left(-x-y\right)\overrightarrow{DE}
    1DA→−1DC→+0DE→=13yDA→+13xDC→+(−x−y)DE→\red{1}\overrightarrow{DA} \blue{-1}\overrightarrow{DC}+\pink{0}\overrightarrow{DE} =\red{\frac{1}{3} y}\overrightarrow{DA} +\blue{\frac{1}{3} x}\overrightarrow{DC} +\left(\pink{-x-y}\right)\overrightarrow{DE}
    On obtient le système suivant :
    {13y=113x=−1−x−y=0\left\{\begin{array}{ccc} {\red{\frac{1}{3} y}} & {=} & {\red{1}} \\ {\blue{\frac{1}{3} x}} & {=} & {\blue{-1}} \\ {\pink{-x-y}} & {=} & {\pink{0}} \end{array}\right.
    {y=3x=−3−x−y=0\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {3} \\ {x} & {=} & {-3} \\ {-x-y} & {=} & {0} \end{array}\right. Nous connaissons les valeurs de xx et yy et on va vérifier sue ces valeurs vérifient la troisième ligne de notre système.
    {y=3x=−3−(−3)−3=0\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {3} \\ {x} & {=} & {-3} \\ {-\left(-3\right)-3} & {=} & {0} \end{array}\right.
    {y=3x=−30=0\left\{\begin{array}{ccc} {y} & {=} & {3} \\ {x} & {=} & {-3} \\ {0} & {=} & {0} \end{array}\right.
    Il en résulte donc que :
    HF→=−3EI→+3HJ→\overrightarrow{HF} =-3\overrightarrow{EI} +3\overrightarrow{HJ}

    Les vecteurs HF→\overrightarrow{HF} ; EI→\overrightarrow{EI} et HJ→\overrightarrow{HJ} sont coplanaires.
    Question 3

    Montrer que la droite (EI)\left(EI\right) est parallèle au plan (FHJ)\left(FHJ\right) .

    Correction
    D'après la question précédente, on a montré que les vecteurs HF→\overrightarrow{HF} ; EI→\overrightarrow{EI} et HJ→\overrightarrow{HJ} étaient coplanaires.
    Il en résulte donc que la droite (EI)\left(EI\right) est parallèle au plan (FHJ)\left(FHJ\right) .