Démontrer un alignement par décomposition de vecteurs - Exercice 2

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Soient A,B,CA, B, C trois points non alignés de l'espace, et D,ED, E les points définis par:
AD→=2AC→ et CE→=32AB→−2AC→.\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A C} \quad \text { et } \quad \overrightarrow{C E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C} .
Question 1

Exprimer BD→\overrightarrow{B D} en fonction de AB→\overrightarrow{A B} et AC→\overrightarrow{A C}.

Correction
D'après la relation de Chasles, on a :
BD→=BA→+AD→\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}
BD→=−AB→+AD→\overrightarrow{B D}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A D}
Or AD→=2AC→\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A C} ce qui nous permet d'écrire :
Ainsi :
BD→=−AB→+2AC→\overrightarrow{B D}=-\overrightarrow{AB}+2 \overrightarrow{A C}
Question 2

Exprimer BE→\overrightarrow{B E} en fonction de AB→\overrightarrow{A B} et AC→\overrightarrow{A C}.

Correction
D'après la relation de Chasles :
BE→=BA→+AC→+CE→\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C E}
BE→=−AB→+AC→+CE→\overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A C}+\red{\overrightarrow{C E}}
Or CE→=32AB→−2AC→\red{\overrightarrow{C E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}}
BE→=−AB→+AC→+32AB→−2AC→\overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\red{\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}- 2 \overrightarrow{A C}}
Ainsi :
BE→=12AB→−AC→\overrightarrow{B E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}
Question 3

En déduire que B,DB, D et EE sont alignés.

Correction
Nous savons que :
BD→=−AB→+2AC→\overrightarrow{B D}=-\overrightarrow{AB}+2 \overrightarrow{A C}
BD→=−2(12AB→−AC→)\overrightarrow{B D}=-2\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}\right)
On rappelle que : BE→=12AB→−AC→\overrightarrow{B E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}
Donc
BD→=−2BE→\overrightarrow{B D}=-2\overrightarrow{B E}
: les vecteurs sont colinéaires, et comme ils ont le point BB en commun, BB, D,ED, E sont alignés.

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