Démontrer un alignement par décomposition de vecteurs - Exercice 1

10 min
20
Soient A,B,CA, B, C trois points non alignés de l'espace, et E,FE, F les points définis par:
AE→=2AB→−AC→ et AF→=4AB→−3AC→\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C} \quad \text { et } \quad \overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}
Question 1

Exprimer BE→\overrightarrow{B E} en fonction de AB→\overrightarrow{A B} et AC→\overrightarrow{A C}.

Correction
D'après la relation de Chasles :
BE→=BA→+AE→\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{B A}+\red{\overrightarrow{A E}}
Comme AE→=2AB→−AC→\red{\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}}
On a :
BE→=−AB→+2AB→−AC→\overrightarrow{B E}=-\overrightarrow{A B}+\red{2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}}
Ainsi :
BE→=AB→−AC→\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}
Question 2

Exprimer BF→\overrightarrow{B F} en fonction de AB→\overrightarrow{A B} et AC→\overrightarrow{A C}.

Correction
On sait que :
AF→=4AB→−3AC→\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C} et d'après la relation de Chasles, on a :
AB→+BF→=4AB→−3AC→\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F}=4 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}
BF→=−AB→+4AB→−3AC→=3AB→−3AC→\overrightarrow{B F}=-\overrightarrow{A B}+4 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}
Ainsi :
BF→=3AB→−3AC→\overrightarrow{B F}=3 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}
Question 3

En déduire que B,EB, E et FF sont alignés.

Correction
Nous savons que :
BF→=3AB→−3AC→\overrightarrow{B F}=3 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}
BF→=3(AB→−AC→)\overrightarrow{B F}=3\left( \overrightarrow{A B}- \overrightarrow{A C}\right) et comme d'après la question 11, on sait que : BE→=AB→−AC→\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}
Donc
BF→=3BE→\overrightarrow{B F}=3 \overrightarrow{B E}
: les vecteurs sont colinéaires, et comme ils ont le point BB en commun, BB, E,FE, F sont alignés.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.