Géométrie vectorielle, droites et plans de l'espace

Découvrir les vecteurs dans l'espace - Exercice 2

10 min
15
(O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k} \right) est un repère orthonormé de l'espace. Soient les points A(1;2;3)A\left(1;2;3\right) ; B(−2;7;5)B\left(-2;7;5\right) et C(0;−5;4)C\left(0;-5;4\right) .
Question 1

Déterminer les coordonnées du point II milieu de [BC]\left[BC\right] .

Correction
Soit (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j};\overrightarrow{k} \right) un repère du plan et deux points A(xA;yA;zA)A\left(x_{A} ;y_{A} ;z_{A}\right) et B(xB;yB;zB)B\left(x_{B} ;y_{B};z_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI;zI)I\left(x_{I} ;y_{I};z_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ; yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2} et zI=zA+zB2z_{I} =\frac{z_{A} +z_{B} }{2}
    • Nous pouvons également écrire que : I(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)I\left(\frac{x_{A} +x_{B} }{2} ;\frac{y_{A} +y_{B} }{2};\frac{z_{A} +z_{B} }{2} \right)
II est le milieu de [BC]\left[BC\right] .
Il vient que :
I(xB+xC2;yB+yC2;zB+zC2)I\left(\frac{x_{B} +x_{C} }{2} ;\frac{y_{B} +y_{C} }{2};\frac{z_{B} +z_{C} }{2} \right)
I(−2+02;7−52;5+42)I\left(\frac{-2+0}{2} ;\frac{7-5 }{2};\frac{5+4}{2} \right)
I(−1;1;92)I\left(-1 ;1;\frac{9}{2} \right)
Question 2

Les points AA ; BB et CC sont ils alignés ?

Correction
Il va falloir, dans un premier temps, calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} .
AB→(xB−xAyB−yAzB−zA)⇔AB→(−2−17−25−3)⇔AB→(−352)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \\ {z_{B} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {7-2} \\ {5-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \\ {2} \end{array}\right)
AC→(xC−xAyC−yAzC−zA)⇔AC→(0−1−5−24−3)⇔AC→(−1−71)\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \\ {z_{C} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {-5-2} \\ {4-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-7} \\ {1} \end{array}\right)
Les points AA ; BB et CC sont alignés si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Existe-t-il un réel kk tel que AB→=kAC→\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC} ?
On obtient le système suivant {−3=−k5=−7k2=k\left\{\begin{array}{ccc} {-3} & {=} & {-k} \\ {5} & {=} & {-7k} \\ {2} & {=} & {k} \end{array}\right.
Ainsi {k=3k=−57k=2\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3 } \\ {k} & {=} & {-\frac{5}{7} } \\ {k} & {=} & {2 } \end{array}\right. .
Les trois valeurs de kk ne sont pas égales.
Dans ce cas, AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.
Les points AA ; BB et CC ne sont pas alignés.
Question 3

Déterminer les coordonnées du point MM tel que : AM→=2BC→\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{BC}

Correction
Notons M(x;y;z)M\left(x;y;z\right) .
Calculons les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} ; BC→\overrightarrow{BC} et enfin 2BC→2\overrightarrow{BC}.
AM→(xM−xAyM−yAzM−zA)⇔AM→(x−1y−2z−3)\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x_{M} -x_{A} } \\ {y_{M} -y_{A} } \\ {z_{M} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {y-2} \\ {z-3} \end{array}\right)
BC→(xC−xByC−yBzC−zB)⇔BC→(0−(−2)−5−74−5)⇔BC→(2−12−1)\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{B} } \\ {y_{C} -y_{B} } \\ {z_{C} -z_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {0-\left(-2\right)} \\ {-5-7} \\ {4-5} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-12} \\ {-1} \end{array}\right)
2BC→(4−24−2)2\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-24} \\ {-2} \end{array}\right)
Nous savons que : AM→=2BC→\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{BC} . Nous avon donc le système suivant :
{x−1=4y−2=−24z−3=−2\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {4} \\ {y-2} & {=} & {-24} \\ {z-3} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{x=4+1y=−24+2z=−2+3\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {4+1} \\ {y} & {=} & {-24+2} \\ {z} & {=} & {-2+3} \end{array}\right.
{x=5y=−22z=1\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {5} \\ {y} & {=} & {-22} \\ {z} & {=} & {1} \end{array}\right.
Les coordonnées du point MM sont alors : M(5;−22;1)M\left(5;-22;1\right)
Question 4

Calculer les coordonnées du point DD afin que ABCDABCD est un parallélogramme.

Correction
Notons D(x;y;z)D\left(x;y;z\right) .
ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si : AB→=DC→\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC} . Ainsi :
AB→(xB−xAyB−yAzB−zA)⇔AB→(−2−17−25−3)⇔AB→(−352)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \\ {z_{B} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {7-2} \\ {5-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \\ {2} \end{array}\right)
DC→(xC−xDyC−yDzC−zD)⇔DC→(0−x−5−y4−z)\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{D} } \\ {y_{C} -y_{D} } \\ {z_{C} -z_{D} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {0-x} \\ {-5-y} \\ {4-z} \end{array}\right)
Il faut donc que AB→=DC→\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC} . Ce qui nous donne le système suivant :
{0−x=−3−5−y=54−z=2\left\{\begin{array}{ccc} {0-x} & {=} & {-3} \\ {-5-y} & {=} & {5} \\ {4-z} & {=} & {2} \end{array}\right.
{x=3−y=5+5−z=2−4\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {-y} & {=} & {5+5} \\ {-z} & {=} & {2-4} \end{array}\right.
{x=3−y=10−z=−2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {-y} & {=} & {10} \\ {-z} & {=} & {-2} \end{array}\right.
{x=3y=−10z=2\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {y} & {=} & {-10} \\ {z} & {=} & {2} \end{array}\right.
Les coordonnées du point DD afin que ABCDABCD est un parallélogramme sont D(3;−10;2)D\left(3;-10;2\right)