Découvrir les vecteurs dans l'espace - Exercice 2

$$I$$ est le milieu de $$\left[BC\right]$$ .
Il vient que :
$$I\left(\frac{x_{B} +x_{C} }{2} ;\frac{y_{B} +y_{C} }{2};\frac{z_{B} +z_{C} }{2} \right)$$
$$I\left(\frac{-2+0}{2} ;\frac{7-5 }{2};\frac{5+4}{2} \right)$$
$$I\left(-1 ;1;\frac{9}{2} \right)$$

Il va falloir, dans un premier temps, calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ .
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \\ {z_{B} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {7-2} \\ {5-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{A} } \\ {y_{C} -y_{A} } \\ {z_{C} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {0-1} \\ {-5-2} \\ {4-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-7} \\ {1} \end{array}\right)$$
Les points $$A$$ ; $$B$$ et $$C$$ sont alignés si les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.
Existe-t-il un réel $$k$$ tel que $$\overrightarrow{AB} =k\overrightarrow{AC}$$ ?
On obtient le système suivant $$\left\{\begin{array}{ccc} {-3} & {=} & {-k} \\ {5} & {=} & {-7k} \\ {2} & {=} & {k} \end{array}\right.$$
Ainsi $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3 } \\ {k} & {=} & {-\frac{5}{7} } \\ {k} & {=} & {2 } \end{array}\right.$$ .
Les trois valeurs de $$k$$ ne sont pas égales.
Dans ce cas, $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ ne sont pas colinéaires.
Les points $$A$$ ; $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés.

Notons $$M\left(x;y;z\right)$$ .
Calculons les vecteurs $$\overrightarrow{AM}$$ ; $$\overrightarrow{BC}$$ et enfin $$2\overrightarrow{BC}$$.
$$\overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x_{M} -x_{A} } \\ {y_{M} -y_{A} } \\ {z_{M} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} \left(\begin{array}{c} {x-1} \\ {y-2} \\ {z-3} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{B} } \\ {y_{C} -y_{B} } \\ {z_{C} -z_{B} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {0-\left(-2\right)} \\ {-5-7} \\ {4-5} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-12} \\ {-1} \end{array}\right)$$
$$2\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-24} \\ {-2} \end{array}\right)$$
Nous savons que : $$\overrightarrow{AM} =2\overrightarrow{BC}$$ . Nous avon donc le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {4} \\ {y-2} & {=} & {-24} \\ {z-3} & {=} & {-2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {4+1} \\ {y} & {=} & {-24+2} \\ {z} & {=} & {-2+3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {5} \\ {y} & {=} & {-22} \\ {z} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point $$M$$ sont alors : $$M\left(5;-22;1\right)$$

Notons $$D\left(x;y;z\right)$$ .
$$ABCD$$ est un parallélogramme si et seulement si : $$\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC}$$ . Ainsi :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \\ {z_{B} -z_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-2-1} \\ {7-2} \\ {5-3} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {x_{C} -x_{D} } \\ {y_{C} -y_{D} } \\ {z_{C} -z_{D} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{DC} \left(\begin{array}{c} {0-x} \\ {-5-y} \\ {4-z} \end{array}\right)$$
Il faut donc que $$\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{DC}$$ . Ce qui nous donne le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {0-x} & {=} & {-3} \\ {-5-y} & {=} & {5} \\ {4-z} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {-y} & {=} & {5+5} \\ {-z} & {=} & {2-4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {-y} & {=} & {10} \\ {-z} & {=} & {-2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {3} \\ {y} & {=} & {-10} \\ {z} & {=} & {2} \end{array}\right.$$
Les coordonnées du point $$D$$ afin que $$ABCD$$ est un parallélogramme sont $$D\left(3;-10;2\right)$$