Construire la section d'un solide par un plan - Exercice 3

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$I$$ appartient à l'arête $$\left[AE\right]$$, donc à la face $$ABFE$$.

Le point $$I$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$J$$ appartient à l'arête $$\left[AB\right]$$, donc à la face $$ABFE$$.

Le point $$J$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$I$$ et $$J$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$ABFE$$ : on les relie.

Dans la face $$DCGH$$, on ne connaît qu'un seul point du plan $$\left(IJK\right)$$ : le point $$K$$. Il nous faut une direction.

Les faces $$ABFE$$ et $$DCGH$$ du cube sont contenues dans deux plans parallèles.

Le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$ABFE$$ suivant la droite $$\left(IJ\right)$$ (question 1).

Il en résulte que le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$DCGH$$ suivant une droite $$\red{\text{parallèle à }\left(IJ\right)}$$. De plus, cette droite passe par le point $$K$$.
On trace donc la parallèle à $$\left(IJ\right)$$ passant par $$K$$ : elle coupe l'arête $$\left[GH\right]$$ au point $$L$$.
$$\purple{\text{Remarque :}}$$ la face $$DCGH$$ est cachée, le segment $$\left[KL\right]$$ se trace donc en pointillés.

$$\purple{\text{Pourquoi a-t-on besoin d'un nouveau point ?}}$$
Il reste quatre faces à couper, et chacune ne contient qu'un seul point connu : $$J$$ pour $$ABCD$$, $$L$$ pour $$EFGH$$, $$K$$ pour $$BCGF$$ et $$I$$ pour $$ADHE$$. De plus, leurs faces parallèles ne sont pas encore coupées : le théorème ne peut donc pas s'appliquer. On va construire un $$\red{\text{point auxiliaire}}$$.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$ les droites $$\left(IJ\right)$$ et $$\left(BF\right)$$ sont toutes les deux contenues dans le plan $$\left(ABF\right)$$ de la face avant : elles sont coplanaires.
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ la droite $$\left(IJ\right)$$ coupe la droite $$\left(AE\right)$$ au point $$I$$, sans être confondue avec elle (car $$J$$ n'appartient pas à $$\left(AE\right)$$). Elle n'est donc pas parallèle à $$\left(AE\right)$$, ni à $$\left(BF\right)$$ qui est parallèle à $$\left(AE\right)$$.
$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les droites $$\left(IJ\right)$$ et $$\left(BF\right)$$ sont coplanaires et non parallèles : elles sont sécantes.
Pour construire $$R$$, on prolonge le segment $$\left[IJ\right]$$ au-delà de $$J$$ et l'arête $$\left[BF\right]$$ au-delà de $$B$$.$$\purple{\text{Remarque :}}$$ comme $$J$$ est le milieu de $$\left[AB\right]$$, la symétrie de centre $$J$$ échange $$A$$ et $$B$$ ; elle transforme la droite $$\left(AE\right)$$ en sa parallèle passant par $$B$$, c'est-à-dire $$\left(BF\right)$$, et elle conserve la droite $$\left(IJ\right)$$. Le point $$R$$ est donc le symétrique de $$I$$ par rapport à $$J$$ : il est situé sous le point $$B$$, avec $$BR=AI$$.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$R$$ appartient à la droite $$\left(IJ\right)$$, qui est contenue dans le plan $$\left(IJK\right)$$ : donc $$R$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

Le point $$R$$ appartient à la droite $$\left(BF\right)$$, qui est contenue dans le plan $$\left(BCG\right)$$ : donc $$R$$ appartient au plan $$\left(BCG\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$K$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

Le point $$K$$ appartient à l'arête $$\left[CG\right]$$, donc au plan $$\left(BCG\right)$$.

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$R$$ et $$K$$ sont deux points distincts communs aux plans $$\left(IJK\right)$$ et $$\left(BCG\right)$$. Ces deux plans sont distincts (le point $$I$$ n'appartient pas au plan $$\left(BCG\right)$$) : leur intersection est donc la droite $$\left(RK\right)$$.
On trace la droite $$\left(RK\right)$$ : dans la face $$BCGF$$, elle coupe l'arête $$\left[BC\right]$$ au point $$M$$.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$J$$ appartient à l'arête $$\left[AB\right]$$, donc à la face $$ABCD$$.

Le point $$J$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$M$$ appartient à l'arête $$\left[BC\right]$$, donc à la face $$ABCD$$.

Le point $$M$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$ (question 4).

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$J$$ et $$M$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$ABCD$$ : on les relie.
$$\purple{\text{Remarque :}}$$ la face $$ABCD$$ est cachée, le segment $$\left[JM\right]$$ se trace donc en pointillés.

Dans la face $$EFGH$$, on connaît un point du plan $$\left(IJK\right)$$ : le point $$L$$ (question 2). Il nous faut une direction.

Les faces $$ABCD$$ et $$EFGH$$ du cube sont contenues dans deux plans parallèles.

Le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$ABCD$$ suivant la droite $$\left(JM\right)$$ (question 5).

Il en résulte que le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$EFGH$$ suivant une droite $$\red{\text{parallèle à }\left(JM\right)}$$. De plus, cette droite passe par le point $$L$$.
On trace donc la parallèle à $$\left(JM\right)$$ passant par $$L$$ : elle coupe l'arête $$\left[HE\right]$$ au point $$N$$.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$I$$ appartient à l'arête $$\left[AE\right]$$, donc à la face $$ADHE$$.

Le point $$I$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$N$$ appartient à l'arête $$\left[HE\right]$$, donc à la face $$ADHE$$.

Le point $$N$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$ (question 6).

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$I$$ et $$N$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$ADHE$$ : on les relie. La face $$ADHE$$ est cachée : le segment $$\left[IN\right]$$ se trace en pointillés.
$$\purple{\text{Vérification :}}$$ les faces $$ADHE$$ et $$BCGF$$ sont parallèles, donc d'après le théorème, $$\left(IN\right)$$ doit être parallèle à $$\left(KM\right)$$. C'est bien le cas sur la figure.
$$\text{\blue{Bilan :}}$$ le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe les six faces du cube :

la face $$ABFE$$ suivant $$\left[IJ\right]$$ ;

la face $$ABCD$$ suivant $$\left[JM\right]$$ ;

la face $$BCGF$$ suivant $$\left[MK\right]$$ ;

la face $$DCGH$$ suivant $$\left[KL\right]$$ ;

la face $$EFGH$$ suivant $$\left[LN\right]$$ ;

la face $$ADHE$$ suivant $$\left[NI\right]$$.

Ces six segments forment une ligne fermée $$I\to J\to M\to K\to L\to N\to I$$ : c'est la section.$$\purple{\text{Remarque :}}$$ ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, $$\left(IJ\right)//\left(KL\right)$$, $$\left(JM\right)//\left(LN\right)$$ et $$\left(MK\right)//\left(NI\right)$$, car ils sont portés par des faces parallèles.