Construire la section d'un solide par un plan - Exercice 2

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$I$$ appartient à l'arête $$\left[AB\right]$$, donc à la face $$ABCD$$.

Le point $$I$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$J$$ appartient à l'arête $$\left[BC\right]$$, donc à la face $$ABCD$$.

Le point $$J$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$I$$ et $$J$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$ABCD$$ : on les relie.
$$\purple{\text{Remarque :}}$$ la face $$ABCD$$ est cachée, le segment $$\left[IJ\right]$$ se trace donc en pointillés.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$J$$ appartient à l'arête $$\left[BC\right]$$, donc à la face $$BCGF$$.

Le point $$J$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$K$$ appartient à l'arête $$\left[FG\right]$$, donc à la face $$BCGF$$.

Le point $$K$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$J$$ et $$K$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$BCGF$$ : on les relie.

Dans la face $$EFGH$$, on ne connaît qu'un seul point du plan $$\left(IJK\right)$$ : le point $$K$$. Il nous faut aussi une direction : c'est le théorème qui va nous la donner.

Les faces $$ABCD$$ et $$EFGH$$ du cube sont contenues dans deux plans parallèles.

Le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$ABCD$$ suivant la droite $$\left(IJ\right)$$ (question 1).

Il en résulte que le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe la face $$EFGH$$ suivant une droite $$\red{\text{parallèle à }\left(IJ\right)}$$. De plus, cette droite passe par le point $$K$$.
On trace donc la parallèle à $$\left(IJ\right)$$ passant par $$K$$ : elle coupe l'arête $$\left[EF\right]$$ au point $$L$$.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$

Le point $$I$$ appartient à l'arête $$\left[AB\right]$$, donc à la face $$ABFE$$.

Le point $$I$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$.

$$\text{\blue{D'autre part :}}$$

Le point $$L$$ appartient à l'arête $$\left[EF\right]$$, donc à la face $$ABFE$$.

Le point $$L$$ appartient au plan $$\left(IJK\right)$$ (question 3).

$$\text{\blue{Finalement,}}$$ les points $$I$$ et $$L$$ appartiennent simultanément au plan $$\left(IJK\right)$$ et à la face $$ABFE$$ : on les relie.
$$\text{\blue{Bilan :}}$$ le plan $$\left(IJK\right)$$ coupe quatre faces du cube :

la face $$ABCD$$ suivant $$\left[IJ\right]$$ ;

la face $$BCGF$$ suivant $$\left[JK\right]$$ ;

la face $$EFGH$$ suivant $$\left[KL\right]$$ ;

la face $$ABFE$$ suivant $$\left[IL\right]$$.

Ces quatre segments forment une ligne fermée $$I\to J\to K\to L\to I$$ : c'est la section. Les faces $$ADHE$$ et $$DCGH$$ ne sont pas coupées.

$$\text{\blue{D'une part :}}$$ on exprime $$\overrightarrow{IJ}$$ à l'aide de $$\overrightarrow{AC}$$.
Comme $$I$$ est le milieu de $$\left[AB\right]$$ et $$J$$ le milieu de $$\left[BC\right]$$, d'après la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ on exprime $$\overrightarrow{LK}$$ à l'aide de $$\overrightarrow{EG}$$.

D'après la question 3, la droite $$\left(LK\right)$$ est parallèle à $$\left(IJ\right)$$, donc à $$\left(AC\right)$$.

Comme $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$$ (deux arêtes parallèles et de même longueur du cube), $$ACGE$$ est un parallélogramme : $$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}$$. La droite $$\left(LK\right)$$ est donc aussi parallèle à $$\left(EG\right)$$.

Dans le triangle $$FEG$$, on a $$\dfrac{FK}{FG}=\dfrac{3}{4}$$ donc $$\dfrac{FL}{FE}=\dfrac{3}{4}$$, c'est-à-dire $$\overrightarrow{FL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{FE}$$.
D'après la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LF}+\overrightarrow{FK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{EF}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{FG}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}\right)$$
Ainsi :
$$\text{\blue{Finalement :}}$$ comme $$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IJ}$$, on obtient $$\overrightarrow{LK}=\dfrac{3}{4}\times 2\overrightarrow{IJ}$$.$$\text{\blue{Nature de }}\blue{IJKL}\text{\blue{ :}}$$

Les vecteurs $$\overrightarrow{IJ}$$ et $$\overrightarrow{LK}$$ sont colinéaires : les côtés $$\left[IJ\right]$$ et $$\left[LK\right]$$ sont donc parallèles.

Ces deux vecteurs ne sont pas égaux (car $$\dfrac{3}{2}\neq 1$$) : $$IJKL$$ n'est donc pas un parallélogramme.