Construire la section d'un solide par un plan - Exercice 1

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ABCDEFGHABCDEFGH est un pavé droit.
II est un point de l'arête [EF]\left[EF\right], JJ est un point de l'arête [AB]\left[AB\right] et KK est un point de la face EFGHEFGH.
On souhaite construire la section du pavé ABCDEFGHABCDEFGH par le plan (IJK)\left(IJK\right).
Pour cela, on cherche l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec chacune des faces du pavé.
Question 1

Construire l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face ABFEABFE.

Correction
  • Si deux points du plan de section appartiennent à une même face du solide, alors on les relie : le segment obtenu est l'intersection du plan avec cette face.
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
  • Le point II appartient à l'arête [EF]\left[EF\right], donc à la face ABFEABFE.
  • Le point II appartient au plan (IJK)\left(IJK\right).
    • D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
  • Le point JJ appartient à l'arête [AB]\left[AB\right], donc à la face ABFEABFE.
  • Le point JJ appartient au plan (IJK)\left(IJK\right).
    • Finalement,\text{\blue{Finalement,}} les points II et JJ appartiennent simultanément au plan (IJK)\left(IJK\right) et à la face ABFEABFE : on les relie.
    L'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face ABFEABFE est le segment [IJ]\left[IJ\right].
    Question 2

    Construire l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face EFGHEFGH.
    On note LL le point d'intersection de la droite (IK)\left(IK\right) avec l'arête [HG]\left[HG\right].

    Correction
    • Si deux points du plan de section appartiennent à une même face du solide, alors on les relie : le segment obtenu est l'intersection du plan avec cette face.
    D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
  • Le point II appartient à l'arête [EF]\left[EF\right], donc à la face EFGHEFGH.
  • Le point II appartient au plan (IJK)\left(IJK\right).
    • D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
  • Le point KK appartient à la face EFGHEFGH (c'est l'énoncé).
  • Le point KK appartient au plan (IJK)\left(IJK\right).
    • Finalement,\text{\blue{Finalement,}} les points II et KK appartiennent simultanément au plan (IJK)\left(IJK\right) et à la face EFGHEFGH : on trace la droite (IK)\left(IK\right) dans cette face.
    Attention :\purple{\text{Attention :}} le point KK est à l'intérieur de la face, ce n'est pas un point du bord. On prolonge donc la droite (IK)\left(IK\right) jusqu'au bord de la face : elle coupe l'arête [HG]\left[HG\right] au point LL.
    L'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face EFGHEFGH est le segment [IL]\left[IL\right].
    Le point LL appartient à l'arête [HG]\left[HG\right] : il appartient donc aussi à la face DCGHDCGH. Il nous servira à la question 4.
    Question 3

    Construire l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face ABCDABCD.
    On note NN le point d'intersection obtenu avec l'arête [BC]\left[BC\right].

    Correction
    Theˊoreˋme :\red{\text{Théorème :}} Si deux plans (P1)\left(P_1\right) et (P2)\left(P_2\right) sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) sont parallèles.
    Dans la face ABCDABCD, on ne connaît qu'un seul point du plan (IJK)\left(IJK\right) : le point JJ. Un seul point ne suffit pas pour tracer une droite : il nous faut aussi sa direction. C'est le théorème qui va nous la donner.
  • Les faces ABCDABCD et EFGHEFGH du pavé droit sont contenues dans deux plans parallèles.
  • Le plan (IJK)\left(IJK\right) coupe la face EFGHEFGH suivant la droite (IL)\left(IL\right) (question 2).
    • Il en résulte que le plan (IJK)\left(IJK\right) coupe la face ABCDABCD suivant une droite paralleˋle aˋ (IL)\red{\text{parallèle à }\left(IL\right)}. De plus, cette droite passe par le point JJ.
    On trace donc la parallèle à (IL)\left(IL\right) passant par JJ : elle coupe l'arête [BC]\left[BC\right] au point NN.
    Remarque :\purple{\text{Remarque :}} la face ABCDABCD est cachée, le segment [JN]\left[JN\right] se trace donc en pointillés.
    L'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face ABCDABCD est le segment [JN]\left[JN\right], parallèle à (IL)\left(IL\right).
    Question 4

    Construire l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face DCGHDCGH.
    On note PP le point d'intersection obtenu avec l'arête [CG]\left[CG\right].

    Correction
    Theˊoreˋme :\red{\text{Théorème :}} Si deux plans (P1)\left(P_1\right) et (P2)\left(P_2\right) sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) sont parallèles.
    Dans la face DCGHDCGH, on connaît un point du plan (IJK)\left(IJK\right) : le point LL (question 2). Comme à la question précédente, il nous faut une direction.
  • Les faces ABFEABFE et DCGHDCGH du pavé droit sont contenues dans deux plans parallèles.
  • Le plan (IJK)\left(IJK\right) coupe la face ABFEABFE suivant la droite (IJ)\left(IJ\right) (question 1).
    • Il en résulte que le plan (IJK)\left(IJK\right) coupe la face DCGHDCGH suivant une droite paralleˋle aˋ (IJ)\red{\text{parallèle à }\left(IJ\right)}. De plus, cette droite passe par le point LL.
    On trace donc la parallèle à (IJ)\left(IJ\right) passant par LL : elle coupe l'arête [CG]\left[CG\right] au point PP.
    Remarque :\purple{\text{Remarque :}} la face DCGHDCGH est cachée, le segment [LP]\left[LP\right] se trace donc en pointillés.
    L'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face DCGHDCGH est le segment [LP]\left[LP\right], parallèle à (IJ)\left(IJ\right).
    Question 5

    Construire l'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face BCGFBCGF, puis tracer la section du pavé ABCDEFGHABCDEFGH par le plan (IJK)\left(IJK\right).
    Quelle est la nature de cette section ?

    Correction
    • Si deux points du plan de section appartiennent à une même face du solide, alors on les relie : le segment obtenu est l'intersection du plan avec cette face.
    D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
  • Le point NN appartient à l'arête [BC]\left[BC\right], donc à la face BCGFBCGF.
  • Le point NN appartient au plan (IJK)\left(IJK\right) (question 3).
    • D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
  • Le point PP appartient à l'arête [CG]\left[CG\right], donc à la face BCGFBCGF.
  • Le point PP appartient au plan (IJK)\left(IJK\right) (question 4).
    • Finalement,\text{\blue{Finalement,}} les points NN et PP appartiennent simultanément au plan (IJK)\left(IJK\right) et à la face BCGFBCGF : on les relie.
    L'intersection du plan (IJK)\left(IJK\right) avec la face BCGFBCGF est le segment [NP]\left[NP\right].

    Bilan :\text{\blue{Bilan :}} le plan (IJK)\left(IJK\right) coupe cinq faces du pavé :
  • la face ABFEABFE suivant [IJ]\left[IJ\right] ;
  • la face EFGHEFGH suivant [IL]\left[IL\right] ;
  • la face ABCDABCD suivant [JN]\left[JN\right] ;
  • la face DCGHDCGH suivant [LP]\left[LP\right] ;
  • la face BCGFBCGF suivant [NP]\left[NP\right].
    • Ces cinq segments forment une ligne fermée I→J→N→P→L→II\to J\to N\to P\to L\to I : c'est la section. La face ADHEADHE n'est pas coupée.
    La section du pavé ABCDEFGHABCDEFGH par le plan (IJK)\left(IJK\right) est le pentagone IJNPLIJNPL.
    Remarque :\purple{\text{Remarque :}} ce pentagone a deux paires de côtés parallèles : (IJ)//(LP)\left(IJ\right)//\left(LP\right) et (IL)//(JN)\left(IL\right)//\left(JN\right), car ils sont portés par des faces parallèles.
    Meˊthode aˋ retenir :\red{\text{Méthode à retenir :}}
    • Deux points du plan sur une même face : on les relie.
    • Un seul point sur une face : on cherche la face parallèle déjà coupée, et on trace la parallèle passant par ce point.
    • Un segment situé sur une face cachée se trace en pointillés.

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