Variations - Exercice 5

On a :
Or pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le -\sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à
$$-1-\frac{1}{2} \le -\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \le 1-\frac{1}{2}$$
$$-\frac{3}{2} \le f'\left(x\right)\le \frac{1}{2}$$
Il en résulte que $$f'$$ n'est pas de signe constant.
On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.

On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer $$f'\left(x\right)=0$$.
$$f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} =0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{1}{2}$$
Or : $$\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1 }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{6} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Les solutions sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right\}$$
Etape 2 : on résout $$f'\left(x\right)\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$-\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)\ge\frac{1}{2} \Leftrightarrow\sin \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$$ .
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$$. Ainsi sur l'intervalle $$\left[\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right]$$ on aura $$\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$-\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0$$.
Autrement dit :

sur l'intervalle $$\left[\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right]$$, on aura $$f'\left(x\right)\ge 0$$ .

sur l'intervalle $$\left[0;\frac{7\pi }{6} \right]$$ et sur l'intervalle $$\left[\frac{11\pi }{6};2\pi \right]$$, on aura $$f'\left(x\right)\le 0$$ .

Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :