Fonctions trigonométriques

Variations - Exercice 5

12 min
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Question 1

Soit la fonction ff définie sur [0;2π]\left[0 ;2\pi \right] par f(x)=cos⁡(x)−12xf\left(x\right)=\cos \left(x\right)- \frac{1}{2}x.
Etudiez les variations de ff sur [0;2π]\left[0 ;2\pi \right].

Correction
On a :
f′(x)=−sin⁡(x)−12f'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)-\frac{1}{2}

Or pour tout réel xx, on a :
−1≤−sin⁡(x)≤1-1\le -\sin \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à
−1−12≤−sin⁡(x)−12≤1−12-1-\frac{1}{2} \le -\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \le 1-\frac{1}{2}
−32≤f′(x)≤12-\frac{3}{2} \le f'\left(x\right)\le \frac{1}{2}
Il en résulte que f′f' n'est pas de signe constant.
On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.

On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer f′(x)=0f'\left(x\right)=0.
f′(x)=0⇔−sin⁡(x)−12=0⇔−sin⁡(x)=12⇔sin⁡(x)=−12f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} =0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{1}{2}
Or : sin⁡(−π6)=−12\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{1 }{2} , ainsi sin⁡(x)=sin⁡(−π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)
sin⁡(x)=sin⁡(−π6)⇔{x=−π6+2kπoux=π−(−π6)+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{6} \right)+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi : sin⁡(x)=sin⁡(−π6)⇔{x=−π6+2kπoux=7π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{7\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.
Les solutions sur l'intervalle [0;2π]\left[0;2\pi \right] sont S={7π6;11π6}S=\left\{\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right\}
Etape 2 : on résout f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
−sin⁡(x)−12≥0⇔−sin⁡(x)≥12⇔sin⁡(x)≤−12-\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0\Leftrightarrow -\sin \left(x\right)\ge\frac{1}{2} \Leftrightarrow\sin \left(x\right)\le -\frac{1}{2} .
Le segment vert représente la zone où sin⁡(x)≤−12\sin \left(x\right)\le -\frac{1}{2} . Ainsi sur l'intervalle [7π6;11π6]\left[\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right] on aura sin⁡(x)≤−22\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{2} }{2} , c'est-à-dire −sin⁡(x)−12≥0-\sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0.
Autrement dit :
  • sur l'intervalle [7π6;11π6]\left[\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right], on aura f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0 .
  • sur l'intervalle [0;7π6]\left[0;\frac{7\pi }{6} \right] et sur l'intervalle [11π6;2π]\left[\frac{11\pi }{6};2\pi \right], on aura f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0 .
    • Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :