Variations - Exercice 4

On a :
Or pour tout réel $$x$$, on a :
$$-2\le 2\cos \left(x\right)\le 2$$ équivaut successivement à
$$-2-\sqrt{3} \le 2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \le 2-\sqrt{3}$$
$$-2-\sqrt{3} \le f'\left(x\right)\le 2-\sqrt{3}$$
Il en résulte que $$f'$$ n'est pas de signe constant.
On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.

On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer $$f'\left(x\right)=0$$.
$$f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2}$$
Or $$\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3} }{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ ou }} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
Les solutions sur l'intervalle $$\left[0 ;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right\}$$.
Etape 2 : on résout $$f'\left(x\right)\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\ge \frac{\sqrt{3} }{2}$$ . Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\ge \frac{\sqrt{3} }{2}$$. Ainsi entre $$\left[0;\frac{\pi }{6} \right]$$ et $$\left[\frac{11\pi }{6} ;2\pi \right]$$ on aura $$\cos \left(x\right)\ge \frac{\sqrt{3} }{2}$$, c'est-à-dire $$\cos \left(x\right) -\frac{\sqrt{3} }{2} \ge 0$$. Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :


$$f\left(0\right)=2\sin \left(0\right)-\sqrt{3} \times 0$$
D'où :
$$f\left(\frac{\pi }{6} \right)=2\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)-\sqrt{3} \times \frac{\pi }{6}$$
D'où :
$$f\left(\frac{11\pi }{6} \right)=2\sin \left(\frac{11\pi }{6} \right)-\sqrt{3} \times \frac{11\pi }{6}$$
D'où :
$$f\left(2\pi \right)=2\sin \left(2\pi \right)-\sqrt{3} \times 2\pi$$
D'où :