Fonctions trigonométriques

Variations - Exercice 3

12 min
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Question 1

Soit la fonction ff définie sur [0;2π]\left[0;2\pi \right] par f(x)=2cos(x)+2xf\left(x\right)=-2\cos \left(x\right)+\sqrt{2} x.
Etudiez les variations de ff sur [0;2π]\left[0;2\pi \right].

Correction
On a :
f(x)=2sin(x)+2f'\left(x\right)=2\sin \left(x\right)+\sqrt{2}

Or pour tout réel xx, on a :
22sin(x)2-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2 équivaut successivement
2+22sin(x)+22+2-2+\sqrt{2} \le 2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}
2+2f(x)2+2-2+\sqrt{2} \le f'\left(x\right)\le 2+\sqrt{2}
Il en résulte que ff' n'est pas de signe constant.
On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.

On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer f(x)=0f'\left(x\right)=0
f(x)=02sin(x)+2=0sin(x)=22f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}
Or : sin(π4)=22\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} , ainsi sin(x)=sin(π4)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)
sin(x)=sin(π4){x=π4+2kπoux=π(π4)+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
Ainsi : sin(x)=sin(π4){x=π4+2kπoux=5π4+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.
Les solutions sur l'intervalle [0;2π]\left[0;2\pi \right] sont S={5π4;7π4}S=\left\{\frac{5\pi }{4} ;\frac{7\pi }{4} \right\}
Etape 2 : on résout f(x)0f'\left(x\right)\ge 0 puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
2sin(x)+20sin(x)222\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2} .
Le segment vert représente la zone où sin(x)22\sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2} . Ainsi entre [0;5π4]\left[0;\frac{5\pi }{4} \right] et [7π4;2π]\left[\frac{7\pi }{4} ;2\pi \right] on aura sin(x)22\sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2} , c'est-à-dire sin(x)220\sin \left(x\right) -\frac{\sqrt{2} }{2} \ge 0. Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :

f(0)=2cos(0)+2×0f\left(0\right)=-2\cos \left(0\right)+\sqrt{2} \times 0
D'où :
f(0)=2f\left(0\right)=-2

f(5π4)=2cos(5π4)+2×5π4f\left(\frac{5\pi }{4} \right)=-2\cos \left(\frac{5\pi }{4} \right)+\sqrt{2} \times \frac{5\pi }{4}
D'où :
f(5π4)=2+52π4f\left(\frac{5\pi }{4} \right)=\sqrt{2} +\frac{5\sqrt{2} \pi }{4}

f(7π4)=2cos(7π4)+2×7π4f\left(\frac{7\pi }{4} \right)=-2\cos \left(\frac{7\pi }{4} \right)+\sqrt{2} \times \frac{7\pi }{4}
D'où :
f(7π4)=2+72π4f\left(\frac{7\pi }{4} \right)=-\sqrt{2} +\frac{7\sqrt{2} \pi }{4}

f(2π)=2cos(2π)+2×2πf\left(2\pi \right)=-2\cos \left(2\pi \right)+\sqrt{2} \times 2\pi
D'où
f(5π4)=2+22πf\left(\frac{5\pi }{4} \right)=2+2\sqrt{2} \pi