Soit la fonction f définie sur [0;2π] par f(x)=−2cos(x)+2x. Etudiez les variations de f sur [0;2π].
Correction
On a :
f′(x)=2sin(x)+2
Or pour tout réel x, on a : −2≤2sin(x)≤2équivaut successivement −2+2≤2sin(x)+2≤2+2 −2+2≤f′(x)≤2+2 Il en résulte que f′ n'est pas de signe constant. On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.
On va procéder en deux étapes. Etape 1 : on commence par calculer f′(x)=0 f′(x)=0⇔2sin(x)+2=0⇔sin(x)=−22 Or : sin(−4π)=−22, ainsi sin(x)=sin(−4π) sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2kππ−(−4π)+2kπ avec k∈Z. Ainsi : sin(x)=sin(−4π)⇔⎩⎨⎧xx=ou=−4π+2kπ45π+2kπ Les solutions sur l'intervalle [0;2π] sont S={45π;47π} Etape 2 : on résout f′(x)≥0 puis on va utiliser le cercle trigonométrique. 2sin(x)+2≥0⇔sin(x)≥−22 . Le segment vert représente la zone où sin(x)≥−22. Ainsi entre [0;45π] et [47π;2π] on aura sin(x)≥−22, c'est-à-dire sin(x)−22≥0. Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :