Fonctions trigonométriques

Variations - Exercice 2

6 min
10
Question 1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−4x−2cos⁡(x)+2f\left(x\right)=-4x-2\cos \left(x\right)+2.
Etudiez les variations de ff sur R\mathbb{R}.

Correction
On a : f′(x)=−4−2×(−sin⁡(x))f'\left(x\right)=-4-2\times\left(-\sin \left(x\right)\right)
f′(x)=−4+2sin⁡(x)f'\left(x\right)=-4+2\sin \left(x\right)

Or pour tout réel xx, on a :
−1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à
−2≤2sin⁡(x)≤2-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2
−6≤−4+2sin⁡(x)≤−2-6\le -4+2\sin \left(x\right)\le -2
Il en résulte que :
−6≤f′(x)≤−2-6\le f'\left(x\right)\le -2

Ainsi pour tout réel xx, on a f′(x)≤0f'\left(x\right)\le 0, donc la fonction ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}.

On traduit cela dans un tableau de variation, il vient alors :