Fonctions trigonométriques

Sujet vue en Nouvelle-Calédonie novembre 2005 - Exercice 1

40 min
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Un lapin désire traverser une route de 44 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 6060 km/h.
Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 77 mètres de lui.
Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à ... 3030 km/h!
L’avant du camion est représenté par le segment [CC′]\left[CC'\right] sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point AA en direction de DD.
Cette direction est repérée par l’angle θ=BAD^\theta=\widehat{BAD} avec 0<θ≤π20<\theta \le \frac{\pi}{2} .
Question 1

Déterminer les distances ADAD et CDCD en fonction de θ\theta et les temps t1t_1 et t2t_2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances ADAD et CDCD.

Correction
Soit le triangle rectangle ABDABD rectangle en BB.
On a alors :
D'une part :
cos(θ) =ABAD{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }=\frac{AB}{AD}
Comme θ∈]0;π2]\theta \in \left]0;\frac{\pi }{2}\right] alors cos(θ) >0{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }>0 alors AD=ABcos(θ) AD=\frac{AB}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }} ainsi
AD=4cos(θ) AD=\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
car AB=4AB=4
D'autre part :
sin(θ) =BDAD{\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }=\frac{BD}{AD}
AD×sin(θ) =BDAD\times{\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }=BD
Or cos(θ) =ABAD{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }=\frac{AB}{AD} ce qui nous permet d'écrire :
4cos(θ) ×sin(θ) =BD\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}\times {\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }=BD
4×sin(θ) cos(θ) =BD4\times \frac{{\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}=BD
Ainsi :
4×tan(θ) =BD4\times {\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }=BD

Nous pouvons finalement calculer CDCD.
En effet :
CD=CB+BDCD=CB+BD
CD=7+BDCD=7+BD
Finalement :
CD=7+4×sin(θ) cos(θ) CD=7+4\times \frac{{\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}

Nous allons maintenant calculer les temps t1t_1 et t2t_2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances ADAD et CDCD.
On rappelle que vitesse=distancetemps \text{vitesse}=\frac{\text{distance}}{\text{temps}}
  • Calculons t1t_1.

    • Ainsi t1=distancevitesse t_1=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}
    t1=ADvitesse t_1=\frac{AD}{\text{vitesse}}
    Nous allons exprimer la distance en kilomètre car la vitesse est exprimé en km/h. La vitesse sur la distance ADAD est de 3030 km/h .
    Ainsi :
    t1=0,004cos(θ) 30 t_1=\frac{\frac{0,004}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{\text{30}}
  • Calculons t2t_2.
    • Ainsi t2=distancevitesse t_2=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}
    t2=CDvitesse t_2=\frac{CD}{\text{vitesse}}
    Nous allons exprimer la distance en kilomètre car la vitesse est exprimé en km/h. La vitesse sur la distance CDCD est de 6060 km/h .
    t2=0,007+0,004×sin(θ) cos(θ) 60 t_2=\frac{0,007+0,004\times \frac{{\mathrm{s}\mathrm{in} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{\text{60}}

    Question 2

    On pose f(θ)=72+2tan(θ) −4cos(θ) f\left(\theta \right)=\frac{7}{2}+2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }-\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }} .
    Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ)>0f\left(\theta \right)>0 .

    Correction
    Le lapin pourra traverser sans être écraser par le camion si t1<t2t_1<t_2 .
    Il vient alors que :
    t1<t2t_1<t_2 équivaut successivement à
    0,004cos(θ) 30<0,007+0,004×sin(θ) cos(θ) 60\frac{\frac{0,004}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{30}<\frac{0,007+0,004\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{60}
    2×0,004cos(θ) 2×30<0,007+0,004×sin(θ) cos(θ) 60\frac{\frac{2\times 0,004}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{2\times 30}<\frac{0,007+0,004\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{60}
    0,008cos(θ) 60<0,007+0,004×sin(θ) cos(θ) 60\frac{\frac{0,008}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{60}<\frac{0,007+0,004\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}}{60}
    0,008cos(θ) <0,007+0,004×sin(θ) cos(θ) \frac{0,008}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}<0,007+0,004\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }} . Nous allons multiplier ensuite tous les termes par 10001000 .
    1000×0,008cos(θ) <1000×0,007+1000×0,004×sin(θ) cos(θ) \frac{1000\times 0,008}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}<1000\times 0,007+1000\times 0,004\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
    8cos(θ) <7+4×sin(θ) cos(θ) \frac{8}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}<7+4\times \frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
    0<7−8cos(θ) +4×tan(θ) 0<7-\frac{8}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}+4\times {\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ } . Nous allons diviser ensuite tous les termes par 22 .
    0<72−4cos(θ) +2tan(θ) 0<\frac{7}{2}-\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}+2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }
    Ainsi :
    f(θ)>0f\left(\theta \right)>0
    Question 3

    On considère la fonction gg définie sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] par g(θ)=2tan(θ) g\left(\theta\right)=2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }.
    On admet que la fonction gg est dérivable sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] et on note g′g' sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout nombre réel θ\theta de l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] on a : g′(θ)=2cos2(θ)g'\left(\theta \right)=\frac{2}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}

    Correction
    g(θ)=2tan(θ) g\left(\theta\right)=2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }
    g(θ)=2×sin(θ) cos(θ) g\left(\theta \right)=2\times\frac{{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
      Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(θ)=sin(θ) u\left(\theta\right)={\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } et v(θ)=cos(θ) v\left(\theta\right)={\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }
    Ainsi : u′(θ)=cos(θ) u'\left(\theta\right)={\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ } et v′(θ)=−sin(θ) v'\left(\theta\right)={-\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }.
    Il vient alors que :
    g′(θ)=2×cos(θ) cos(θ) −sin(θ) ×(−sin(θ) )(cos(θ) )2g'\left(\theta \right)=2\times\frac{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }-{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }\times \left(-{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }\right)}{{\left({\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }\right)}^2}
    g′(θ)=2×cos2(θ) +sin2(θ) cos2(θ)g'\left(\theta \right)=2\times\frac{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)\ }+{\mathrm{sin}^2 \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}
    Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
    g′(θ)=2×1cos2(θ)g'\left(\theta \right)=2\times\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}
    g′(θ)=2×1cos2(θ)g'\left(\theta \right)=2\times\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}
    Autrement dit :
    g′(θ)=2cos2(θ)g'\left(\theta \right)=\frac{2}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}

    Question 4

    On considère la fonction hh définie sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] par h(θ)=4cos(θ) h\left(\theta \right)=\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}.
    On admet que la fonction hh est dérivable sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] et on note h′h' sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout nombre réel θ\theta de l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] on a : h′(θ)=−4sin(θ) cos2(θ) h'\left(\theta \right)=\frac{-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)\ }}

    Correction
    h(θ)=4cos(θ) h\left(\theta \right)=\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
      Deˊriveˊe de l’inverse\text{\purple{Dérivée de l’inverse}}
    On considère une fonction vv dérivable sur un intervalle II alors
    (1v)′=−v’v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v’}{v^{2} }
    On reconnaît la forme (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} } avec v(θ)=cos(θ) v\left(\theta\right)={\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }
    Ainsi : v′(θ)=−sin(θ) v'\left(\theta\right)=-{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }.
    Il vient alors que :
    h′(θ)=−4×(−sin(θ) )cos2(θ) h'\left(\theta \right)=-\frac{4\times\left(-{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }\right)}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)\ }}
    Ainsi :
    h′(θ)=4sin(θ) cos2(θ) h'\left(\theta \right)=\frac{4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)\ }}
    Question 5

    On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] par f(θ)=72+2tan(θ) −4cos(θ) f\left(\theta \right)=\frac{7}{2}+2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }-\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}.
    On admet que la fonction ff est dérivable sur l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] et on note f′f' sa fonction dérivée.
    Etudier la fonction ff sur l'intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] .

    Correction
    Nous avons :
    f(θ)=72+2tan(θ) −4cos(θ) f\left(\theta \right)=\frac{7}{2}+2{\mathrm{tan} \left(\theta \right)\ }-\frac{4}{{\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ }}
    f(θ)=72+g(θ)−h(θ)f\left(\theta \right)=\frac{7}{2}+g\left(\theta \right)-h\left(\theta \right)
    D'après les questions 33 et 44 nous pouvons écrire que :
    f′(θ)=g′(θ)−h′(θ)f'\left(\theta \right)=g'\left(\theta \right)-h'\left(\theta \right)
    f′(θ)=2cos2(θ)−4sin(θ) cos2(θ) f'\left(\theta \right)=\frac{2}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}-\frac{4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)\ }}
    Ainsi :
    f′(θ)=2−4sin(θ) cos2(θ)f'\left(\theta \right)=\frac{2-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }}{{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}}

    Pour tout nombre réel θ\theta de l’intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] on peut affirmer que cos2(θ)>0{\mathrm{cos}^2 \left(\theta \right)}>0
    Il en résulte que le signe de f′f' dépend du numérateur 2−4sin(θ) 2-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } .
     Etape 1 :\red{\text{ Etape 1 :}} résoudre l'équation 2−4sin(θ) 2-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } sur l'intervalle ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right]
    2−4sin(θ) =0⇔sin⁡(θ)=12.2-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }=0\Leftrightarrow \sin \left(\theta\right)=\frac{1 }{2} .
    Or sin⁡(π6)=12\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1 }{2} , ainsi sin⁡(x)=sin⁡(π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)
    L'unique solution sur ]0;π2]\left]0;\frac{\pi}{2}\right] de l'équation 2−4sin(θ) =02-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ }=0 est θ=π6\theta=\frac{\pi }{6}
     Etape 2 :\red{\text{ Etape 2 :}} on résout 2−4sin(θ) >02-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } >0 puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
    2−4sin(θ) >0⇔sin⁡(θ)<122-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } >0\Leftrightarrow \sin \left(\theta\right)<\frac{1 }{2}
    Le segment vert représente la zone où sin⁡(θ)<12\sin \left(\theta\right)<\frac{1 }{2} . Ainsi entre ]0;π6[\left]0;\frac{\pi }{6} \right[ on aura sin⁡(θ)<12\sin \left(\theta\right)<\frac{1 }{2} , c'est-à-dire 2−4sin(θ) >02-4{\mathrm{sin} \left(\theta \right)\ } >0.
    On intègre cela dans un tableau ci-dessous. Il vient alors :