Résoudre des inéquations trigonométriques - Exercice 1

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\cos \left(x\right)-1=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$
$$2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2} .$$
Or $$\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} &{\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
Enfin les solutions sur $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}$$ .
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ on résout $$2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\cos \left(x\right)-1\ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$$. Ainsi entre $$\left[0;\frac{\pi }{3} \right]$$ et $$\left[\frac{5\pi }{3} ;2\pi \right]$$ on aura $$\cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$$, c'est-à-dire $$\cos \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0$$ qui est équivalent à : $$2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$ sont :

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$
$$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{2} }{2} .$$
Or $$\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Enfin les solutions sur $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{\pi }{4} ;\frac{3\pi }{4} \right\}$$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ on résout $$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$$. Ainsi entre $$\left[0;\frac{\pi }{4} \right]$$ et $$\left[\frac{3\pi }{4} ;2\pi \right]$$ on aura $$\sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$$ sont :

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$-2\cos \left(x\right)-1=0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$
$$-2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{1}{2} .$$
Or $$\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
Enfin les solutions sur $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right\}$$ La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ on résout $$-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$-2\cos \left(x\right)-1\ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$$. Ainsi sur l'intervalle $$\left[\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right]$$ on aura $$\cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$$, c'est-à-dire $$-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :Les solutions de l'inéquation $$-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$$ sont :

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$
$$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} .$$
Or $$\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Enfin les solutions sur $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{5\pi }{4} ;\frac{7\pi }{4} \right\}$$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et la vidéo équation et trigonométrie.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ on résout $$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$$. Ainsi entre $$\left]0;\frac{5\pi }{4} \right[$$ et $$\left]\frac{7\pi }{4} ;2\pi \right[$$ on aura $$\sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$$ sont :

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ Résoudre l'équation $$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} =0$$ sur l'intervalle $$\left[-\pi;\pi \right]$$
$$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .$$
Or $$\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$$, ainsi $$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)$$
$$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ici, ce sont les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
Enfin les solutions sur $$\left[-\pi;\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{-5\pi }{6} ;\frac{5\pi }{6}\right\}$$

$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ On résout $$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} <0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$$
Le segment vert représente la zone où $$\cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$$.
Ainsi entre $$\left[-\pi;\frac{-5\pi }{6} \right[$$ et $$\left]\frac{5\pi }{6} ;\pi \right]$$ on aura :
$$\cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$$, c'est-à-dire $$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0$$ sont

$$\red{\text{ Etape 1 :}}$$ résoudre l'équation $$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0$$ sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$
$$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .$$
Or $$\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Enfin les solutions sur $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}$$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et la vidéo équation et trigonométrie.
$$\red{\text{ Etape 2 :}}$$ on résout $$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$$Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$$.
Ainsi sur l'intervalle $$\left[\frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right]$$ on aura :
$$\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$$, c'est-à-dire $$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$$ sont