Résoudre des inéquations trigonométriques

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ résoudre l'équation $2\cos \left(x\right)-1=0$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$
$2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2} .$
Or $\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$, ainsi $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} &{\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
Enfin les solutions sur $\left[0;2\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}$ .
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$ on résout $2\cos \left(x\right)-1\ge 0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$2\cos \left(x\right)-1\ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$
Le segment vert représente la zone où $\cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$. Ainsi entre $\left[0;\frac{\pi }{3} \right]$ et $\left[\frac{5\pi }{3} ;2\pi \right]$ on aura $\cos \left(x\right)\ge \frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\cos \left(x\right)-\frac{1}{2} \ge 0$ qui est équivalent à : $2\cos \left(x\right)-1\ge 0$
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $2\cos \left(x\right)-1\ge 0$ sont :

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ résoudre l'équation $2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$
$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{2} }{2} .$
Or $\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$, ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$
Enfin les solutions sur $\left[0;2\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{\pi }{4} ;\frac{3\pi }{4} \right\}$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$ on résout $2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$
Le segment vert représente la zone où $\sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$. Ainsi entre $\left[0;\frac{\pi }{4} \right]$ et $\left[\frac{3\pi }{4} ;2\pi \right]$ on aura $\sin \left(x\right)\le \frac{\sqrt{2} }{2}$, c'est-à-dire $2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} \le 0$ sont :

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ résoudre l'équation $-2\cos \left(x\right)-1=0$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$
$-2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{1}{2} .$
Or $\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}$, ainsi $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
Enfin les solutions sur $\left[0;2\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right\}$ La méthode est détaillée à l'exercice 4 et cf vidéo équation et trigonométrie.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$ on résout $-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$-2\cos \left(x\right)-1\ge 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$
Le segment vert représente la zone où $\cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$. Ainsi sur l'intervalle $\left[\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right]$ on aura $\cos \left(x\right)\le -\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :Les solutions de l'inéquation $-2\cos \left(x\right)-1\ge 0$ sont :

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ résoudre l'équation $2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$
$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} .$
Or $\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}$, ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$
Enfin les solutions sur $\left[0;2\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{5\pi }{4} ;\frac{7\pi }{4} \right\}$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et la vidéo équation et trigonométrie.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$ on résout $2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$
Le segment vert représente la zone où $\sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$. Ainsi entre $\left]0;\frac{5\pi }{4} \right[$ et $\left]\frac{7\pi }{4} ;2\pi \right[$ on aura $\sin \left(x\right)>-\frac{\sqrt{2} }{2}$, c'est-à-dire $2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} >0$ sont :

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ Résoudre l'équation $2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} =0$ sur l'intervalle $\left[-\pi;\pi \right]$
$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .$
Or $\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$, ainsi $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)$
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
Enfin les solutions sur $\left[-\pi;\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{-5\pi }{6} ;\frac{5\pi }{6}\right\}$

$\red{\text{ Etape 2 :}}$ On résout $2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} <0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$
Le segment vert représente la zone où $\cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$.
Ainsi entre $\left[-\pi;\frac{-5\pi }{6} \right[$ et $\left]\frac{5\pi }{6} ;\pi \right]$ on aura :
$\cos \left(x\right)< -\frac{\sqrt{3} }{2}$, c'est-à-dire $2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $2\cos \left(x\right)+\sqrt{3} < 0$ sont

$\red{\text{ Etape 1 :}}$ résoudre l'équation $-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$
$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .$
Or $\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$, ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$
Enfin les solutions sur $\left[0;2\pi \right]$ sont $S=\left\{\frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}$
La méthode est détaillée à l'exercice 4 et la vidéo équation et trigonométrie.
$\red{\text{ Etape 2 :}}$ on résout $-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$Le segment vert représente la zone où $\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$.
Ainsi sur l'intervalle $\left[\frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right]$ on aura :
$\sin \left(x\right)\le -\frac{\sqrt{3} }{2}$, c'est-à-dire $-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$.
On intègre cela dans un tableau de signe ci-dessous. Il vient alors :
Les solutions de l'inéquation $-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} \ge 0$ sont