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Résoudre des équations trigonométriques - Exercice 3

20 min
30
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
On commence par chercher les solutions sur R\mathbb{R} puis après on fait varier kk.
Question 1

cos⁡(x)=cos⁡(2π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)

Correction
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos⁡(x)=cos⁡(2π3)⇔{x=2π3+2kπoux=−2π3+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
    • cos⁡(x)=cos⁡(2π3)⇔{x=2π3+2×0πoux=−2π3+2×0π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(2π3)⇔{x=2π3oux=−2π3\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or 2π3∈[0;2π[\frac{2\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et −2π3∉[0;2π[-\frac{2\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 2π3\frac{2\pi }{3} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • cos⁡(x)=cos⁡(2π3)⇔{x=2π3+2×1πoux=−2π3+2×1π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(2π3)⇔{x=8π3oux=4π3\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{8\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or 4π3∈[0;2π[\frac{4\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et 8π3∉[0;2π[\frac{8\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 4π3\frac{4\pi }{3} .
    Finalement, les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(2π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={2π3;4π3}S=\left\{\frac{2\pi }{3} ;\frac{4\pi }{3} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 2

    sin⁡(x)=sin⁡(5π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)

    Correction
    sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=5π6+2kπoux=π−5π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    Enfin sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=5π6+2kπoux=π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
    • sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=5π6+2×0πoux=π6+2×0π\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=5π6oux=π6\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} } \end{array}\right.
    Or 5π6∈[0;2π[\frac{5\pi }{6} \in \left[0;2\pi \right[ et π6∈[0;2π[\frac{\pi }{6} \in \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment les solutions 5π6\frac{5\pi }{6} et π6\frac{\pi }{6} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=5π6+2×1πoux=π6+2×1π\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin⁡(x)=sin⁡(5π6)⇔{x=17π6oux=13π6\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{17\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{6} } \end{array}\right.
    Or 17π6∉[0;2π[\frac{17\pi }{6} \notin \left[0;2\pi \right[ et 13π6∉[0;2π[\frac{13\pi }{6} \notin \left[0;2\pi \right[.
    Finalement, les solutions de sin⁡(x)=sin⁡(5π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={π6;5π6}S=\left\{\frac{\pi }{6} ;\frac{5\pi }{6} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 3

    2cos⁡(x)−1=02\cos \left(x\right)-1=0

    Correction
    cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    2cos⁡(x)−1=0⇔cos⁡(x)=12.2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2} .
    Or cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2} , ainsi cos⁡(x)=cos⁡(π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)
    cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3+2kπoux=−π3+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
    • cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3+2×0πoux=−π3+2×0π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3oux=−π3\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or π3∈[0;2π[\frac{\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et −π3∉[0;2π[-\frac{\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution π3\frac{\pi }{3} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3+2×1πoux=−π3+2×1π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=7π3oux=5π3\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or : 5π3∈[0;2π[\frac{5\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et 7π3∉[0;2π[\frac{7\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[.
    Finalement, les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={π3;5π3}S=\left\{\frac{\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 4

    2sin⁡(x)+2=02\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0

    Correction
    sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    2sin⁡(x)+2=0⇔sin⁡(x)=−22.2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} .
    Or sin⁡(−π4)=−22\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} , ainsi sin⁡(x)=sin⁡(−π4)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)
    sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=−π4+2kπoux=π−(−π4)+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    Enfin sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=−π4+2kπoux=5π4+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0

    • sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=−π4+2×0πoux=5π4+2×0π\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2\times 0\pi } \end{array}\right.

    Donc sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=−π4oux=5π4\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} } \end{array}\right.
    Or −π4∉[0;2π[-\frac{\pi }{4} \notin \left[0;2\pi \right[ et 5π4∈[0;2π[\frac{5\pi }{4} \in \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 5π4\frac{5\pi }{4} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=−π4+2×1πoux=5π4+2×1π\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin⁡(x)=sin⁡(−π4)⇔{x=7π4oux=13π4\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{4} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{4} } \end{array}\right.
    Or 7π4∈[0;2π[\frac{7\pi }{4} \in \left[0;2\pi \right[ et 13π4∉[0;2π[\frac{13\pi }{4} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 7π4\frac{7\pi }{4} .
    Finalement, les solutions de sin⁡(x)=sin⁡(−π4)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={5π4;7π4}S=\left\{\frac{5\pi }{4} ;\frac{7\pi }{4} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 5

    cos⁡(x)−32=0\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0

    Correction
    cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    cos⁡(x)−32=0⇔cos⁡(x)=32.\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} .
    Or cos⁡(π6)=32\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3} }{2} , ainsi cos⁡(x)=cos⁡(π6)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)
    cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=π6+2kπoux=−π6+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
    • cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=π6+2×0πoux=−π6+2×0π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=π6oux=−π6\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} } \end{array}\right.
    Or π6∈[0;2π[\frac{\pi }{6} \in \left[0;2\pi \right[ et −π6∉[0;2π[-\frac{\pi }{6} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution π6\frac{\pi }{6} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=π6+2×1πoux=−π6+2×1π\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos⁡(x)=cos⁡(π6)⇔{x=13π6oux=11π6\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{13\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{11\pi }{6} } \end{array}\right.
    Or 13π6∉[0;2π[\frac{13\pi }{6} \notin \left[0;2\pi \right[ et 11π6∈[0;2π[\frac{11\pi }{6} \in \left[0;2\pi \right[.
    Finalement, les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(π6)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={π6;11π6}S=\left\{\frac{\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 6

    −2sin⁡(x)−3=0-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0

    Correction
    sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    −2sin⁡(x)−3=0⇔sin⁡(x)=−32.-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .
    Or sin⁡(−π3)=−32\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} , ainsi sin⁡(x)=sin⁡(−π3)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)
    sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2kπoux=π−(−π3)+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
    Enfin sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2kπoux=4π3+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ici, ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
    • sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2×0πoux=4π3+2×0π\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3oux=4π3\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or −π3∉[0;2π[-\frac{\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[ et 4π3∈[0;2π[\frac{4\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 4π3\frac{4\pi }{3} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
    • sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2×1πoux=4π3+2×1π\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=5π3oux=10π3\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{10\pi }{3} } \end{array}\right.
    Or 5π3∈[0;2π[\frac{5\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et 10π3∉[0;2π[\frac{10\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment la solution 5π3\frac{5\pi }{3} .
    Finalement, les solutions de sin⁡(x)=sin⁡(−π3)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={4π3;5π3}S=\left\{\frac{4\pi }{3} ;\frac{5\pi }{3} \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k≥2k\ge 2 ou k≤−1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[

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