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Résoudre des équations trigonométriques - Exercice 1

15 min
20
Résoudre les équations suivantes sur R\mathbb{R} .
Question 1

cos⁡(x)=cos⁡(π2)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)

Correction
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.

cos⁡(x)=cos⁡(π2)⇔{x=π2+2kπoux=−π2+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−π2+2kπ;π2+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{2} +2k\pi ;\frac{\pi }{2} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 2

sin⁡(x)=sin⁡(π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)

Correction
sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
sin⁡(x)=sin⁡(π6)⇔{x=π6+2kπoux=π−π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Finalement : {x=π6+2kπoux=5π6+2kπ\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi
S={π6+2kπ;5π6+2kπ}S=\left\{\frac{\pi }{6} +2k\pi ;\frac{5\pi }{6} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 3

2cos⁡(x)−1=02\cos \left(x\right)-1=0

Correction
2cos⁡(x)−1=0⇔2cos⁡(x)=1⇔cos⁡(x)=122\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)=1\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2} . Or : cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2} .
Cela nous ramène donc à résoudre cos⁡(x)=cos⁡(π3)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right).
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos⁡(x)=cos⁡(π3)⇔{x=π3+2kπoux=−π3+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi : S={−π3+2kπ;π3+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\} avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 4

2sin⁡(x)−2=02\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0

Correction
2sin⁡(x)−2=0⇔2sin⁡(x)=2⇔sin⁡(x)=222\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{2} }{2} . Or : sin⁡(π4)=22\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2} .
Cela nous ramène donc à résoudre sin⁡(x)=sin⁡(π4)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right).
sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
sin⁡(x)=sin⁡(π4)⇔{x=π4+2kπoux=π−π4+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Finalement :
sin⁡(x)=sin⁡(π4)⇔{x=π4+2kπoux=3π4+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi : S={π4+2kπ;3π4+2kπ}S=\left\{\frac{\pi }{4} +2k\pi ;\frac{3\pi }{4} +2k\pi \right\} avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 5

−cos⁡(x)−32=0-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0

Correction
−cos⁡(x)−32=0⇔−cos⁡(x)=32⇔cos⁡(x)=−32-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0\Leftrightarrow -\cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} . Or : cos⁡(5π6)=−32\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)=\frac{-\sqrt{3} }{2}
Cela nous ramène donc à résoudre : cos⁡(x)=cos⁡(5π6)\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right).
cos⁡(a)=cos⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=−b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos⁡(x)=cos⁡(5π6)⇔{x=5π6+2kπoux=−5π6+2kπ\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−5π6+2kπ;5π6+2kπ}S=\left\{-\frac{5\pi }{6} +2k\pi ;\frac{5\pi }{6} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Question 6

−2sin⁡(x)−3=0-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0

Correction
−2sin⁡(x)−3=0⇔−2sin⁡(x)=3⇔sin⁡(x)=−32-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow -2\sin \left(x\right)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} . Or : sin⁡(−π3)=−32\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .
Cela nous ramène donc à résoudre : sin⁡(x)=sin⁡(−π3)\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right).
sin⁡(a)=sin⁡(b)⇔{a=b+2kπoua=π−b+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2kπoux=π−(−π3)+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Finalement : sin⁡(x)=sin⁡(−π3)⇔{x=−π3+2kπoux=4π3+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.
Ainsi :
S={−π3+2kπ;4π3+2kπ}S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{4\pi }{3} +2k\pi \right\}
avec k∈Zk\in \mathbb{Z}.

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