Résoudre des équations trigonométriques

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{2} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{2} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : avec $k\in \mathbb{Z}$.

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Finalement : $\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi avec $k\in \mathbb{Z}$.

$2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow 2\cos \left(x\right)=1\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2}$. Or : $\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$.
Cela nous ramène donc à résoudre $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$.
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : $S=\left\{-\frac{\pi }{3} +2k\pi ;\frac{\pi }{3} +2k\pi \right\}$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

$2\sin \left(x\right)-\sqrt{2} =0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$. Or : $\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}$.
Cela nous ramène donc à résoudre $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$.
$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Finalement :
$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{3\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : $S=\left\{\frac{\pi }{4} +2k\pi ;\frac{3\pi }{4} +2k\pi \right\}$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

$-\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0\Leftrightarrow -\cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \cos \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$. Or : $\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)=\frac{-\sqrt{3} }{2}$
Cela nous ramène donc à résoudre : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)$.
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : avec $k\in \mathbb{Z}$.

$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow -2\sin \left(x\right)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$. Or : $\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$.
Cela nous ramène donc à résoudre : $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)$.
$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Finalement : $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Ainsi : avec $k\in \mathbb{Z}$.

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or : $\frac{2\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $-\frac{2\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment les solutions $-\frac{2\pi }{3}$ et $\frac{2\pi }{3}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=1$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{8\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or $\frac{4\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{8\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Enfin $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} } \end{array}\right.$
Or : $\frac{5\pi }{6} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{\pi }{6} \in \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment les solutions $\frac{5\pi }{6}$ et $\frac{\pi }{6}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=1$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{17\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{6} } \end{array}\right.$
Or $\frac{17\pi }{6} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{13\pi }{6} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6} \right)$ sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$2\cos \left(x\right)-1=0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{1}{2} .$
Or $\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}$, ainsi $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
Donc $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or : $\frac{\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $-\frac{\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment les solutions $-\frac{\pi }{3}$ et $\frac{\pi }{3}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=1$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or $\frac{5\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{7\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)$sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2} .$
Or $\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}$, ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Enfin $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=-1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} } \end{array}\right.$
Or $-\frac{\pi }{4} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{5\pi }{4} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment la solution $-\frac{\pi }{4}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=-1$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2\times \left(-1\pi\right) } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2\times \left(-1\pi\right) } \end{array}\right.$
Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{9\pi }{4} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{3\pi }{4} } \end{array}\right.$
Or $-\frac{9\pi }{4} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$ et $-\frac{3\pi }{4} \in \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$ sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$\cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} =0\Leftrightarrow \cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} .$
Or $\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3} }{2}$, ainsi $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)$
$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} } \end{array}\right.$
Or : $\frac{\pi }{6} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $-\frac{\pi }{6} \in \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment les solutions $-\frac{\pi }{6}$ et $\frac{\pi }{6}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=1$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{\pi }{6} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{13\pi }{6} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{11\pi }{6} } \end{array}\right.$
Or $\frac{13\pi }{6} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{11\pi }{6} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)$sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$-2\sin \left(x\right)-\sqrt{3} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{3} }{2} .$
Or $\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{\sqrt{3} }{2}$, ainsi $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)$
$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{3} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$.
Enfin $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$ Donc $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or $-\frac{\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{4\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$. On garde pour le moment la solution $-\frac{\pi }{3}$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=1$

$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{5\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{10\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or : $\frac{5\pi }{3} \in \left]-\pi ;\pi \right]$ et $\frac{10\pi }{3} \notin \left]-\pi ;\pi \right]$.
Finalement, les solutions de $\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3} \right)$ sur $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Ici, ce sont les solutions sur $\mathbb{R}$.
On va faire varier la valeur de $k$. Dans un premier temps on prendra $k=0$, puis $k=1$. En effet, avec ces deux valeurs de $k$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right[$.

$\red{\text{ D'une part :}}$ lorsque $k=0$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or $\frac{2\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[$ et $-\frac{2\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[$. On garde pour le moment la solution $\frac{2\pi }{3}$.

$\red{\text{ D'autre part :}}$ lorsque $k=1$

$\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$
Donc : $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{8\pi }{3} } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{4\pi }{3} } \end{array}\right.$
Or $\frac{4\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[$ et $\frac{8\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[$. On garde pour le moment la solution $\frac{4\pi }{3}$.
Finalement, les solutions de $\cos \left(x\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$ sur $\left[0;2\pi \right[$ sont