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Fonctions trigonométriques
Rappels - Exercice 2
15 min
25
En remarquant que
7
π
12
=
π
3
+
π
4
\frac{7\pi }{12} =\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4}
12
7
π
=
3
π
+
4
π
Question 1
Déterminer les valeurs de
cos
(
7
π
12
)
\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)
cos
(
12
7
π
)
et de
sin
(
7
π
12
)
\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)
sin
(
12
7
π
)
Correction
cos
(
7
π
12
)
=
cos
(
π
3
+
π
4
)
\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)
cos
(
12
7
π
)
=
cos
(
3
π
+
4
π
)
. Ainsi :
cos
(
π
3
+
π
4
)
=
cos
(
π
3
)
cos
(
π
4
)
−
sin
(
π
3
)
sin
(
π
4
)
\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
cos
(
3
π
+
4
π
)
=
cos
(
3
π
)
cos
(
4
π
)
−
sin
(
3
π
)
sin
(
4
π
)
cos
(
π
3
+
π
4
)
=
1
2
×
2
2
−
3
2
×
2
2
\cos \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}
cos
(
3
π
+
4
π
)
=
2
1
×
2
2
−
2
3
×
2
2
Finalement :
cos
(
7
π
12
)
=
2
4
−
6
4
\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} -\frac{\sqrt{6} }{4}
cos
(
12
7
π
)
=
4
2
−
4
6
sin
(
7
π
12
)
=
sin
(
π
3
+
π
4
)
\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)
sin
(
12
7
π
)
=
sin
(
3
π
+
4
π
)
. Ainsi :
sin
(
π
3
+
π
4
)
=
cos
(
π
3
)
sin
(
π
4
)
+
sin
(
π
3
)
cos
(
π
4
)
\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)
sin
(
3
π
+
4
π
)
=
cos
(
3
π
)
sin
(
4
π
)
+
sin
(
3
π
)
cos
(
4
π
)
sin
(
π
3
+
π
4
)
=
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2
\sin \left(\frac{\pi }{3} +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \times \frac{\sqrt{2} }{2}
sin
(
3
π
+
4
π
)
=
2
1
×
2
2
+
2
3
×
2
2
Finalement :
sin
(
7
π
12
)
=
2
4
+
6
4
\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}
sin
(
12
7
π
)
=
4
2
+
4
6
Question 2
En déduire les valeurs de
cos
(
π
12
)
\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)
cos
(
12
π
)
et de
sin
(
π
12
)
\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)
sin
(
12
π
)
Correction
On remarque que
π
12
=
7
π
12
−
π
2
\frac{\pi }{12} =\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2}
12
π
=
12
7
π
−
2
π
.
Or
cos
(
x
−
π
2
)
=
sin
(
x
)
\cos \left(x-\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left(x\right)
cos
(
x
−
2
π
)
=
sin
(
x
)
et
sin
(
x
−
π
2
)
=
−
cos
(
x
)
\sin \left(x-\frac{\pi }{2} \right)=-\cos \left(x\right)
sin
(
x
−
2
π
)
=
−
cos
(
x
)
D’une part :
\red{\text{ D'une part :}}
D’une part :
cos
(
π
12
)
=
cos
(
7
π
12
−
π
2
)
\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\cos \left(\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2} \right)
cos
(
12
π
)
=
cos
(
12
7
π
−
2
π
)
d'où
cos
(
π
12
)
=
sin
(
7
π
12
)
\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{7\pi }{12} \right)
cos
(
12
π
)
=
sin
(
12
7
π
)
donc
cos
(
π
12
)
=
2
4
+
6
4
\cos \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}
cos
(
12
π
)
=
4
2
+
4
6
D’autre part :
\red{\text{ D'autre part :}}
D’autre part :
sin
(
π
12
)
=
sin
(
7
π
12
−
π
2
)
\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\frac{7\pi }{12} -\frac{\pi }{2} \right)
sin
(
12
π
)
=
sin
(
12
7
π
−
2
π
)
d'où
sin
(
π
12
)
=
−
cos
(
7
π
12
)
\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=-\cos \left(\frac{7\pi }{12} \right)
sin
(
12
π
)
=
−
cos
(
12
7
π
)
donc
sin
(
π
12
)
=
−
2
4
+
6
4
\sin \left(\frac{\pi }{12} \right)=\frac{-\sqrt{2} }{4} +\frac{\sqrt{6} }{4}
sin
(
12
π
)
=
4
−
2
+
4
6