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Rappels - Exercice 1

10 min
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Exprimez en fonction de cos⁡(x)\cos \left(x\right) et sin⁡(x)\sin \left(x\right) les expressions suivantes
  • cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b)\cos \left(a+b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)
  • cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos \left(a-b\right)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)
  • sin⁡(a+b)=cos⁡(a)sin⁡(b)+cos⁡(b)sin⁡(a)\sin \left(a+b\right)=\cos \left(a\right)\sin \left(b\right)+\cos \left(b\right)\sin \left(a\right)
  • sin⁡(a−b)=sin⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(b)cos⁡(a)\sin \left(a-b\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(b\right)\cos \left(a\right)
Question 1

A=cos⁡(x+π3)−sin⁡(x−π6)A=\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(x-\frac{\pi }{6} \right)

Correction
A=cos⁡(x+π3)−sin⁡(x−π6)A=\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(x-\frac{\pi }{6} \right) équivaut successivement à
A=cos⁡(x)cos⁡(π3)−sin⁡(x)sin⁡(π3)−[sin⁡(x)cos⁡(π6)−sin⁡(π6)cos⁡(x)]A=\cos \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)-\sin \left(x\right)\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-\left[\sin \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{6} \right)-\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\cos \left(x\right)\right]
A=12cos⁡(x)−32sin⁡(x)−[32sin⁡(x)−12cos⁡(x)]A=\frac{1}{2} \cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(x\right)-\left[\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \cos \left(x\right)\right]
A=12cos⁡(x)−32sin⁡(x)−32sin⁡(x)+12cos⁡(x)A=\frac{1}{2} \cos \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(x\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(x\right)+\frac{1}{2} \cos \left(x\right)
A=cos⁡(x)−3sin⁡(x)A=\cos \left(x\right)-\sqrt{3} \sin \left(x\right)
Question 2

B=cos⁡(x−π4)+sin⁡(x+2π3)B=\cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3} \right)

Correction
B=cos⁡(x−π4)+sin⁡(x+2π3)B=\cos \left(x-\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(x+\frac{2\pi }{3} \right) équivaut successivement à
B=cos⁡(x)cos⁡(π4)+sin⁡(x)sin⁡(π4)+sin⁡(x)cos⁡(2π3)+sin⁡(2π3)cos⁡(x)B=\cos \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)+\sin \left(x\right)\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)+\sin \left(\frac{2\pi }{3} \right)\cos \left(x\right)
B=22cos⁡(x)+22sin⁡(x)−12sin⁡(x)+32cos⁡(x)B=\frac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(x\right)+\frac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(x\right)-\frac{1}{2} \sin \left(x\right)+\frac{\sqrt{3} }{2} \cos \left(x\right)
B=(22+32)cos⁡(x)+(22−12)sin⁡(x)B=\left(\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} \right)\cos \left(x\right)+\left(\frac{\sqrt{2} }{2} -\frac{1}{2} \right)\sin \left(x\right)

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