Soit
x un réel et
x un réel strictemement positif car nous allons calculer la limite au voisinage de
+∞.
On a :
−1≤cos(2x) ≤1 −3≤3cos(2x) ≤3 −3+3x+10≤3cos(2x) +3x+10≤3+3x+10 3x+7≤3cos(2x) +3x+10≤3x+13 . Nous allons composer par la fonction
x↦x1 qui est décroissante sur l'intervalle
]0;+∞[ donc l'ordre ne sera pas conservé.
3x+131≤3cos(2x) +3x+101≤3x+71 . Nous allons maintenant multiplier chaque terme par
2x+3 qui est strictement positif lorsque nous sommes au voisinage de
+∞.
3x+132x+3≤3cos(2x) +3x+102x+3≤3x+72x+3 D'une part :x→+∞lim3x+132x+3=x→+∞limx(x3x+13)x(x2x+3)x→+∞lim3x+132x+3=x→+∞limx(x3x+x13)x(x2x+x3)x→+∞lim3x+132x+3=x→+∞limx(3+x13)x(2+x3) . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par
x .
x→+∞lim3x+132x+3=x→+∞lim3+x132+x3Ainsi :
x→+∞lim2+x3x→+∞lim3+x13==22} par quotient :x→+∞lim3+x132+x3=32 Finalement : x→+∞lim3x+132x+3=32 D'autre part :il suffit de faire les mêmes étapes que précédemment et on obtiendra :
x→+∞lim3x+72x+3=32 D'après le théorème des gendarmes, on peut alors affirmer que : x→+∞lim3cos(2x) +3x+102x+3=32