Fonction paire / fonction impaire - Fonctions trigonométriques - Enseignement de spécialité

Question 1

Étudiez la parité des fonctions suivantes.

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(-x\right)=2\cos \left(-x\right)-\left(-x\right)^{2}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction paire.

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 2

$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)}$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(-2x\right)}{\sin \left(-3x\right)}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(2x\right)}{-\sin \left(3x\right)}

f\left(-x\right)=-\frac{\cos \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)}

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Question 3

$f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)

peut également s'écrire

f\left(x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

.
Ainsi :

f\left(-x\right)=\frac{\sin ^{2} \left(-x\right)}{\cos ^{2} \left(-x\right)}

équivaut successivement à

f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(-x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(-x\right)\right)^{2} }

f\left(-x\right)=\frac{\left(-\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }

f\left(-x\right)=\frac{\left(\sin \left(x\right)\right)^{2} }{\left(\cos \left(x\right)\right)^{2} }

Enfin :

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction paire.

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 4

$f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)

Ainsi :

f\left(-x\right)=\sin \left(-x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)

équivaut successivement à :

f\left(-x\right)=\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)+\cos \left(-x\right)

f\left(-x\right)=-\sin \left(x+\pi \right)+\cos \left(x\right)

car

\sin \left(-\left(x+\pi \right)\right)=-\sin \left(x+\pi \right)

Ici

f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)

et

f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)

La fonction

f

n'est ni paire ni impaire.

Question 5

$f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(-x\right)=2\sin \left(-x\right)-3\sin \left(\frac{-x}{2} \right)

f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)-3\times \left(-\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)

f\left(-x\right)=-2\sin \left(x\right)+3\sin \left(\frac{x}{2} \right)

f\left(-x\right)=-\left(2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Question 6

$f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)$

Correction

f

est une fonction paire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=f\left(x\right)

.
La fonction cosinus est paire.

f

est une fonction impaire si pour tout réel

x

, on a

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

.
La fonction sinus est impaire.

Attention, une fonction non paire n'est pas obligatoirement impaire et une fonction non impaire n'est pas obligatoirement paire.
Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

f\left(-x\right)=-\cos \left(3\times \left(-x\right)\right)\sin \left(2\times \left(-x\right)\right)

f\left(-x\right)=-\cos \left(-3x\right)\sin \left(-2x\right)

f\left(-x\right)=-\cos \left(3x\right)\times \left(-\sin \left(2x\right)\right)

f\left(-x\right)=\cos \left(3x\right)\times \sin \left(2x\right)

f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction

f

est une fonction impaire.

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Fonction paire / fonction impaire - Exercice 1

f(x)=2cos⁡(x)−x2f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2} f(x)=2cos(x)−x2

f(x)=cos⁡(2x)sin⁡(3x)f\left(x\right)=\frac{\cos \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)} f(x)=sin(3x)cos(2x)​

f(x)=tan⁡2(x)f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)f(x)=tan2(x)

f(x)=sin⁡(x−π)+cos⁡(−x)f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)f(x)=sin(x−π)+cos(−x)

f(x)=2sin⁡(x)−3sin⁡(x2)f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)f(x)=2sin(x)−3sin(2x​)

f(x)=−cos⁡(3x)sin⁡(2x)f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)f(x)=−cos(3x)sin(2x)

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-x^{2}$

$f\left(x\right)=\frac{\cos \left(2x\right)}{\sin \left(3x\right)}$

$f\left(x\right)=\tan ^{2} \left(x\right)$

$f\left(x\right)=\sin \left(x-\pi \right)+\cos \left(-x\right)$

$f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\sin \left(\frac{x}{2} \right)$

$f\left(x\right)=-\cos \left(3x\right)\sin \left(2x\right)$