Soit
x∈R, on sait que :
−1≤sin(x)≤1 équivaut successivement à :
−2≤2sin(x)≤2−2+2x≤2sin(x)+2x≤2+2x- D'une part x→−∞lim−2+2x=−∞
- D'autre part x→−∞lim2+2x=−∞.
Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme
x→−∞lim2+2x=−∞ et que
2x+2sin(x)≤2+2x.
Alors, d'après le théorème de comparaison
x→−∞lim2x+2sin(x)=−∞