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Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

20 min
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Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=]−π2;π2[I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[ par f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} .
Question 1

Etudier la parité de la fonction ff.
Que peut-on en déduire ?

Correction

cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right) et sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)

f(−x)=sin⁡(−x)cos⁡(−x)f\left(-x\right)=\frac{\sin \left(-x\right)}{\cos \left(-x\right)}
f(−x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(-x\right)=\frac{-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
Ainsi
f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

La fonction ff est donc impaire.
Sa courbe représentative admet comme centre de symétrie l'origine du repère.
Question 2

Déterminer la limite la fonction ff en π2\frac{\pi }{2} .
Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

Correction
Comme I=]−π2;π2[I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[ alors on va calculer la limite à gauche de π2\frac{\pi }{2} , c'est-à-dire lim⁡x→π2−f(x)\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)
Il vient alors que lim⁡x→π2−f(x)=lim⁡x→π2−sin⁡(x)cos⁡(x)\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}
lim⁡x→π2−sin⁡(x)=1lim⁡x→π2−cos⁡(x)=0+}par quotientlim⁡x→π2−sin⁡(x)cos⁡(x)=+∞.\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \sin \left(x\right)} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \cos \left(x\right)} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} =+\infty .
La courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation x=π2x=\frac{\pi }{2} .
Question 3

Calculer f′(x)f'\left(x\right).

Correction
Ici on reconnait la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right).
Ainsi u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Pour tout réel x∈]−π2;π2[x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[, il vient alors que :
f′(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)} équivaut successivement à
f′(x)=1cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}
car cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
Question 4

Déterminer le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[

Correction
Pour tout réel x∈]−π2;π2[x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[, on sait quecos⁡2(x)\cos ^{2} \left(x\right) ne s'annule pas et que cos⁡2(x)>0\cos ^{2} \left(x\right)>0.
Il en résulte que f′(x)>0f'\left(x\right)>0 et que ff est strictement croissante sur ]−π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[.
On en déduit le tableau de variation ci-dessous
Question 5

Déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse 00 est donnée par la formule : y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
Or f(0)=0f\left(0\right)=0 et f′(0)=1f'\left(0\right)=1.
Il en résulte que l'équation de la tangente est
y=xy=x

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