Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$f\left(-x\right)=\frac{\sin \left(-x\right)}{\cos \left(-x\right)}$$
$$f\left(-x\right)=\frac{-\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$$
Ainsi
La fonction $$f$$ est donc impaire.
Sa courbe représentative admet comme centre de symétrie l'origine du repère.

Comme $$I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[$$ alors on va calculer la limite à gauche de $$\frac{\pi }{2}$$, c'est-à-dire $$\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)$$
Il vient alors que $$\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \sin \left(x\right)} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \cos \left(x\right)} & {=} & {0^{+} } \end{array}\right\}{\text{par quotient}}\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2} ^{-} } \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} =+\infty .$$
La courbe admet pour asymptote verticale la droite d'équation $$x=\frac{\pi }{2}$$.

Ici on reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\sin \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$ et $$v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$$.
Pour tout réel $$x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[$$, il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}$$ équivaut successivement à
car $$\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1$$

Pour tout réel $$x\in \left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[$$, on sait que$$\cos ^{2} \left(x\right)$$ ne s'annule pas et que $$\cos ^{2} \left(x\right)>0$$.
Il en résulte que $$f'\left(x\right)>0$$ et que $$f$$ est strictement croissante sur $$\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[$$.
On en déduit le tableau de variation ci-dessous

L'équation de la tangente au point d'abscisse $$0$$ est donnée par la formule : $$y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$
Or $$f\left(0\right)=0$$ et $$f'\left(0\right)=1$$.
Il en résulte que l'équation de la tangente est