Fonctions trigonométriques

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

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Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=[−π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] par f(x)=sin⁡(x)−sin⁡2(x)f\left(x\right)=\sin \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right) .
Question 1

Etudier le signe de la fonction ff définie sur l'intervalle I=[−π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] . Pensez à factoriser ff :)

Correction
Commençons par factoriser ff.
Pour tout réel x∈[−π2;π2]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right], on a f(x)=sin⁡(x)(1−sin⁡(x))f\left(x\right)=\sin \left(x\right)\left(1-\sin \left(x\right)\right)
Pour tout réel x∈[−π2;π2]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]
−1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1 équivaut successivement
−1≤−sin⁡(x)≤1-1\le -\sin \left(x\right)\le 1
0≤1−sin⁡(x)≤20\le 1-\sin \left(x\right)\le 2
Il en résulte que le signe de f(x)f\left(x\right) est celui de sin⁡(x)\sin \left(x\right).
Or si x∈[−π2;0]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;0\right] alors sin⁡(x)≤0\sin \left(x\right)\le 0 et si x∈[0;π2]x\in \left[0;\frac{\pi }{2} \right] alors sin⁡(x)≥0\sin \left(x\right)\ge 0.
On en déduit donc le tableau de signe de ff :
Question 2

Calculer f′(x)f'\left(x\right) puis déterminer les variations de la fonction ffdéfinie sur l'intervalle I=[−π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right].

Correction

Pour la dérivée de sin⁡2(x)\sin ^{2} \left(x\right), on utilise la forme (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1} .
ff est dérivable sur [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] et pour tout x∈[−π2;π2]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right], on a :
f′(x)=cos⁡(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x).f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)-2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right).
On factorise par cos⁡(x)\cos \left(x\right), d'où :
f′(x)=cos⁡(x)(1−2sin⁡(x))f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)\left(1-2\sin \left(x\right)\right)

Pour tout x∈[−π2;π2]x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right], cos⁡(x)≥0\cos \left(x\right)\ge 0 donc le signe de f′(x)f'\left(x\right) est celui de 1−2sin⁡(x)1-2\sin \left(x\right).
Pour l'étude du signe de (1−2sin⁡(x))(1-2\sin \left(x\right)), on commence par résoudre (1−2sin⁡(x))=0(1-2\sin \left(x\right))=0 sur [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]
(1−2sin⁡(x))=0⇔sin⁡(x)=12.(1-2\sin \left(x\right))=0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=\frac{1}{2} .
Or sin⁡(π6)=12\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2} , ainsi sin⁡(x)=sin⁡(π6)\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)
sin⁡(x)=sin⁡(π6)⇔{x=π6+2kπoux=π−π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right. avec k∈Rk\in \mathbb{R}.
Ainsi : sin⁡(x)=sin⁡(π6)⇔{x=π6+2kπoux=5π6+2kπ\sin \left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{6} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{6} +2k\pi } \end{array}\right.
Donc la solution sur [−π2;π2]\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] est S={π6}S=\left\{\frac{\pi }{6} \right\}
Maintenant, résolvons (1−2sin⁡(x))≥0(1-2\sin \left(x\right)) \ge 0 afin de savoir sur quelle intervalle la dérivée est positive.
On représentera ensuite ces informations dans un cercle trigonométrique.
(1−2sin⁡(x))≥0⇔sin⁡(x)≤12(1-2\sin \left(x\right)) \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\le \frac{1}{2}

Avec :
f(−π2)=sin⁡(−π2)−sin⁡2(−π2)f\left(\frac{-\pi }{2} \right)=\sin \left(\frac{-\pi }{2} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{-\pi }{2} \right) d'où :
f(−π2)=−2f\left(\frac{-\pi }{2} \right)=-2

f(π6)=sin⁡(π6)−sin⁡2(π6)f\left(\frac{\pi }{6} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{6} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{6} \right) d'où f(π6)=14f\left(\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{4}
f(π2)=sin⁡(π2)−sin⁡2(π2)f\left(\frac{\pi }{2} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)-\sin ^{2} \left(\frac{\pi }{2} \right) d'où f(π2)=0f\left(\frac{\pi }{2} \right)=0