Fonctions trigonométriques

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=[0,+[I=\left[0,+\infty \right[ par f(x)=xsin(x)f\left(x\right)=x-\sin \left(x\right)
1

Calculer f(x)f'\left(x\right) puis déterminer les variations de la fonction ffdéfinie sur l'intervalle I=[0,+[I=\left[0,+\infty \right[.

Correction
2

En déduire le signe de la fonction ff définie sur l'intervalle II

Correction
Soit la fonction gg définie sur l'intervalle I=[0,+[I=\left[0,+\infty \right[ par g(x)=cos(x)1+x22g\left(x\right)=\cos \left(x\right)-1+\frac{x^{2} }{2}.
3

Calculer g(x)g'\left(x\right) puis déterminer les variations de la fonction gg définie sur l'intervalle II

Correction
4

Démontrer que pour tout réel xx de l'intervalle II, on a 1x22cos(x)11-\frac{x^{2} }{2} \le \cos \left(x\right)\le 1

Correction

Exercice 2

Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=[π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] par f(x)=sin(x)sin2(x)f\left(x\right)=\sin \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right)
1

Etudier le signe de la fonction ff définie sur l'intervalle I=[π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] . Pensez à factoriser ff :)

Correction
2

Calculer f(x)f'\left(x\right) puis déterminer les variations de la fonction ffdéfinie sur l'intervalle I=[π2;π2]I=\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right].

Correction

Exercice 3

Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=]π2;π2[I=\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[ par f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} .
1

Etudier la parité de la fonction ff.
Que peut-on en déduire ?

Correction
2

Déterminer la limite la fonction ffen π2\frac{\pi }{2} .
Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

Correction
3

Calculer f(x)f'\left(x\right).

Correction
4

Déterminer le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle ]π2;π2[\left]-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right[

Correction
5

Déterminer une équation de la droite (d)\left(d\right) tangente à la courbe CfC_{f} au point d'abscisse 00.

Correction

Exercice 4

Soit la fonction gg définie sur l'intervalle I=[0;π]I=\left[0;\pi \right] par : g(x)=xcos(x)sin(x)g\left(x\right)=x\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)
1

Calculer g(0)g\left(0\right) et g(π)g\left(\pi\right).

Correction
2

Etudier gg et dresser son tableau de variation.

Correction
Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=[0;π]I=\left[0;\pi \right] par : f(x)=sin(x)x+x36f\left(x\right)=\sin \left(x\right)-x+\frac{x^{3}}{6}.
3

Calculer f(x)f'\left(x\right) puis f(x)f''\left(x\right) et enfin f(x)f'''\left(x\right).

Correction
4

Dresser le tableau de variation de ff'' sur [0;π]\left[0;\pi \right].

Correction
5

En déduire les variations de ff' sur [0;π]\left[0;\pi \right].

Correction
6

En déduire les variations de ff sur [0;π]\left[0;\pi \right].

Correction
7

En déduire que pour tout réel xx appartenant à [0;π]\left[0;\pi \right], on a : xx36sin(x)1x-\frac{x^{3}}{6}\le \sin \left(x\right)\le 1

Correction
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