Démontrons que $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\left(x\right)}{x}=1$$ - Exercice 1

On considère la fonction $$f$$ définie sur l'intervalle $$] 0;+\infty[$$ par : $$f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x}$$ et nous souhaitons calculer $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\left(x\right)}{x}$$.
Posons la fonction $$h:\mapsto \sin\left(x\right)$$ et $$h\left(0\right)=\sin\left(0\right)=0$$. La fonction $$h$$ est dérivable en $$0$$ car la fonction sinusest dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ainsi :
$$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\left(x\right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}$$.
D'après la définition : $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{h\left(x\right)-h\left(0\right)}{x-0}=h'\left(0\right)$$.
Pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$\left] -\infty;+\infty\right[$$, on a alors : $$h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$ et $$h'\left(0\right)=\cos\left(0\right)=1$$
D'où :