Combinatoire et dénombrement

Travailler avec des diagrammes - Exercice 2

6 min
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Dans une colonie de vacances, on dénombre 360360 adolescents. On leur propose les activités suivantes : Réseaux sociaux (RR) , Musique (MM) et Théâtre (TT).
  • 182182 ont choisi Réseaux sociaux , 162162 ont choisi Musique et 9090 ont choisi Théâtre.
    • De plus:
  • 3030 ont choisi Réseaux sociaux et Théâtre.
  • 7070 ont choisi Musique et Théâtre.
  • 4040 ont choisi Réseaux sociaux et Musique et 1111 ont choisi Réseaux sociaux, Musique et Théâtre.
    • Question 1

    Reproduire et compléter le diagramme ci-dessus :

    Correction
    Question 2

    Déterminer les cardinaux de RR ; MM et TT

    Correction
    D'après l’énoncé, nous savons que :
    182182 ont choisi Réseaux sociaux , 162162 ont choisi Musique et 9090 ont choisi Théâtre.
  • On appelle cardinal d'un ensemble EE et on note card(E)\text{card}\left(E\right), le nombre d'éléments de EE .
  • L’ensemble RR est composée de 182182 élèves donc
    card(R)=182\text{card}\left(R\right)=182
  • L’ensemble MM est composée de 162162 élèves donc
    card(M)=162\text{card}\left(M\right)=162
  • L’ensemble TT est composée de 9090 élèves donc
    card(T)=90\text{card}\left(T\right)=90
    • Question 3

    Déterminer le nombres de personnes qui font de la musique ou du théatre.

    Correction
  • card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)\text{card}\left(A\cup B\right)=\text{card}\left(A\right)+\text{card}\left(B\right)-\text{card}\left(A\cap B\right)
    • Nous souhaitons déterminer card(M∪T)\text{card}\left(M\cup T\right), d'après la formule, il vient que :
    card(M∪T)=card(M)+card(T)−card(M∩T)\text{card}\left(M\cup T\right)=\text{card}\left(M\right)+\text{card}\left(T\right)-\text{card}\left(M\cap T\right)
    card(M∪T)=162+90−70\text{card}\left(M\cup T\right)=162+90-70
    Ainsi :
    card(M∪T)=182\text{card}\left(M\cup T\right)=182
    Question 4

    Déterminer le nombres d'adolescents qui ne souhaitent pas faire les activités proposées.

    Correction
    D'après le diagramme, nous pouvons affirmer qu'il y a 5555 adolescents qui ne souhaitent pas faire les activités proposées.