Tout ce qu'il faut savoir sur le dénombrement : k-uplets; permutations; arrangements et combinaisons

Dénombrement des k\blue{k}-listes ou encore k\blue{k}-uplets

Définition
Soit EE un ensemble non vide à nn éléments et soit kk un naturel non nul.
  • Une k\red{k}-uplet d'éléments d'un ensemble EE est une suite (x1;x2;⋯ ;xp)\left(x_1;x_2;\cdots;x_p\right) de kk éléments de EE.
  • Le nombre de k\red{k}-uplets d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est égale à nk\blue{n}^{\red{k}} .
  • Le terme k\red{k}-listes est un synonyme de k\red{k}-uplets.
Comment reconnaitre que nous sommes dans cette situation.
  • Type de tirage : successifs avec remise.
  • Ordre : on tient compte de l’ordre.
  • Répétitions d’éléments : un élément peut être tiré plusieurs fois.
Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
On lance cinq fois de suite un dé à 66 faces. A chaque lancer, on note le chiffre qui apparait sur la face du dessus.
  • On a E={1;2;3;4;5;6}E=\left\{1;2;3;4;5;6\right\} ainsi dim⁡(E)=6\dim\left(E\right)=\blue{6}. Il s'agit de quintuplés (5\red{5}-uplets) d'éléments non distincts de E5E^5.
Exemples de résultats : 11536 ;25441 ;53214 ;…..11536~; 25441~; 53214~; {\dots}..
Le nombre de 5\red{5}-uplets est donc égale à 65\blue{6}^{\red{5}} .
(66 possibilités pour le premier chiffre, 66 possibilités encore pour le deuxième chiffre , 66 possibilités encore pour le troisième chiffre 66 possibilités encore pour le troisième chiffre et enfin 66 possibilités pour le cinquième chiffre ).

Dénombrement des permutations.

Définition
Soit EE un ensemble non vide à nn éléments.
On considère l'ensemble E={x1;x2;…;xn}E=\left\{x_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} \right\} .
Une permutation de nn éléments distincts x1;x2;…;xnx_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces nn éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à n!\red{n!}
  • Type de tirage : successifs sans remise.
  • Ordre : on tient compte de l’ordre.
  • Répétitions d’éléments : un élément n’est tiré qu’une seule fois et tous les éléments seront utilisés.
    • Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
    Combien de classements des 1818 équipes de la BETCLIC ÉLITE (basket-ball) sont possibles ?
    Corrigeˊ :\green{\text{Corrigé :}}
    L'ensemble EE est composé de 18\red{18} éléments.
    Le nombre de permutations de EE est alors égale à 18!\red{18!} .
    Or : 18!=1×2×3×⋯×1818!=1\times 2\times 3\times \cdots \times 18
    Finalement, le nombre de permutations de EE est alors égale à 18!\red{18!} .
    Autrement, il y a 18!18! classements différents.

    Dénombrement des k\blue{k}-uplets d’éléments distincts (Arrangements).

    Définition
    Soit k\red{k} un nombre entier naturel tel que 1≤k≤n1\le k \le \blue{n}.
    Le nombre de k\red{k}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à n\blue{n} éléments est :
    n×(n−1)×(n−2)×…×(n−k+1)=n!(n−k)!\blue{n}\times \left(\blue{n}-1\right)\times \left(\blue{n}-2\right)\times \ldots \times \left(\blue{n}-\red{k}+1\right)=\frac{\blue{n}!}{\left(\blue{n}-\red{k}\right)!}
  • On rappelle\text{\purple{rappelle}} également qu'un arrangement\text{\purple{arrangement}} de k\red{k} éléments de EE est un k\red{k}-uplets d'éléments distincts de l'ensemble EE .
  • Type de tirage : successifs sans remise.
  • Ordre : on tient compte de l’ordre.
  • Répétitions d’éléments : un élément n’est tiré qu’une seule fois mais tous les éléments ne seront pas utilisés.
    • Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
    C'est le grand jour pour le Prix de l'Arc de Triomphe. Il y a 1010 chevaux en lice. Combien y'a-t-il de tiercés possibles?
    Corrigeˊ :\green{\text{Corrigé :}}
    Ici, on appelle EE l'ensemble des 10\blue{10} éléments (chevaux).
    Nous voulons le nombre de tiercés, c'est à dire que nous cherchons le nombre de 3\red{3}-uplets d'éléments distincts\text{\pink{distincts}} d'un ensemble EE à 10\blue{10} éléments. (Eléments distincts\text{\pink{distincts}} car un cheval ne pas peut occuper deux places simultanément.) Nous sommes bien dans une situation d’arrangement.\text{\purple{d'arrangement}} .
    Il en résulte donc :
    10!(10−3)!=10!7!\frac{\blue{10}!}{\left(\blue{10}-\red{3}\right)!}=\frac{10!}{7!}
    10!(10−3)!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×101×2×3×4×5×6×7\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10}{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7}
    10!(10−3)!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×101×2×3×4×5×6×7\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}\times 8\times 9\times 10}{\cancel{1}\times \cancel{2}\times \cancel{3}\times \cancel{4}\times \cancel{5}\times \cancel{6}\times \cancel{7}}
    10!(10−3)!=8×9×10\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=8\times 9\times 10
    10!(10−3)!=720\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=720
    Il y a donc 720720 tiercés possibles.

    Dénombrement avec des combinaisons

    Définition
    Soit EE un ensemble non vide de nn éléments et pp un entier tel que 0≤p≤n0 \le p \le n.
    Un combinaison à pp éléments d’un ensemble EE est une partie à pp éléments de EE .
    Le nombre de combinaisons de pp éléments d’un ensemble à n éléments est noté (np)\left( \begin{array}{c}n \\ p \end{array}\right) qui se lit « pp parmi nn ».
    On a : (np)=n!p!(n−p)!\left( \begin{array}{c}n \\ p \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • Type de tirage : simultanés.
  • Ordre : on ne tient pas compte de l’ordre.
  • Répétitions d’éléments : un élément n’est tiré qu’une seule fois.
    • Exemple :\pink{\text{Exemple :}}
    On dispose d'un jeu de 3232 cartes. On rappelle qu'il y a 44 couleurs : cœur, carreau, trèfle et pique.
    Chaque couleur contient 88 cartes : As, Roi, Dame, Valet, 1010, 99, 88 et 77.
    On extrait simultanément 33 cartes de ce jeu de 3232 cartes . Cet ensemble de 33 cartes est appelé une « une main ».
    Combien existe-t-il de mains différentes possibles ?
    Corrigeˊ :\green{\text{Corrigé :}}
    On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}
    Une main est une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 3232 . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
    (323)=32!3!(32−3)!\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{32!}{3!\left(32-3\right)!}
    Ainsi : (323)=4\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=4 960960
    Il y a donc 44 960960 de mains différentes.