Combinatoire et dénombrement

Permutations des élèments d'un ensemble - Exercice 4

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Question 1
Les nombres −2-2, −1-1 et 00 constituent la solution d’un système de trois équations à trois inconnues.

Combien existe-t-il permutations ?

Correction
On considère l'ensemble E={−2;−1;0}E=\left\{-2;-1;0 \right\} qui correspond aux solutions de notre système d'équations à trois inconnues.
On considère l'ensemble E={x1;x2;…;xn}E=\left\{x_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} \right\} .
Une permutation de nn éléments distincts x1;x2;…;xnx_{1} ;x_{2} ;\ldots ;x_{n} est un réarrangement ordonné, sans répétition de ces nn éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à n!\red{n!}
L'ensemble EE est composé de 3\red{3} éléments.
Le nombre de permutations de EE est alors égale à 3!\red{3!} .
Or : 3!=1×2×3=63!=1\times 2\times 3=6
Finalement, le nombre de permutations de EE est alors égale à 3!=6\red{3!=6} .
Question 2

Ecrire toutes les permutations. On peut également énoncer donner tous les triplets différents qui peuvent être les solutions de ce système.

Correction
Les 66 triplets sont les suivants :
(−2;−1;0),(−2;0;−1),(−1;−2;0),(−1;0;−2),(0;−1;−2),(0;−2;−1)\left(-2 ;-1 ;0 \right),\left(-2 ;0 ;-1 \right),\left(-1 ;-2 ;0 \right),\left(-1 ;0 ;-2 \right),\left(0 ;-1 ;-2 \right),\left(0 ;-2 ;-1 \right)