Permutations des élèments d'un ensemble - Exercice 3

Le mot $$\red{\text{VINGT}}$$ est une liste ordonnée de $$5$$ lettres .
On considère $$H$$ l'ensemble : $$H=\left\{V;I;N;G;T \right\}$$
L'ensemble $$H$$ est composé de $$\red{5}$$ éléments.
Le nombre de permutations de $$H$$ est alors égale à $$\red{5!}$$ .
Or : $$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5 =120$$
Il y a $$120$$ anagrammes du mot VINGT .

Le mot $$\red{\text{DERIVATION}}$$ est composée de $$10$$ lettres.
Le mot $$\red{\text{DERIVATION}}$$ comporte deux fois la lettre $$I$$.
On cherche donc à placer les $$10$$ lettres du mot $$\red{\text{DERIVATION}}$$ dans $$10$$ cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
$$\purple{\text{Dans un premier temps :}}$$ on cherche à placer les deux $$I$$ dans les $$10$$ cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$10$$ .
Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{10!}{2!\left(10-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)=45$$
Il y a donc $$45$$ manières différentes de placer les deux $$I$$ dans les $$10$$ cases.
$$\purple{\text{Dans un second temps :}}$$ maintenant, que nous avons placé les deux $$I$$, il nous reste à placer les $$8$$ dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à $$\red{8!}$$ .
Or : $$8!=40\;320$$.
Il y a donc $$\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)\times40\;320=1\;814\;400$$ anagrammes possibles du mot $$\red{\text{DERIVATION}}$$ .

Le mot $$\red{\text{JAI20ENMATHS}}$$ est une liste ordonnée de $$10$$ lettres et de $$2$$ chiffres.
On considère $$H$$ l'ensemble : $$H=\left\{J;A;I;2;0;E;N;M;A;T;H;S \right\}$$
Le mot $$\red{\text{JAI20ENMATHS}}$$ comporte deux fois la lettre $$A$$ .
On cherche donc à placer les $$12$$ éléments du mot $$\red{\text{JAI20ENMATHS}}$$ dans $$12$$ cases et chaque case ne peut contenir qu'une seule lettre.
$$\purple{\text{Dans un premier temps :}}$$ on cherche à placer les deux $$A$$ dans les $$12$$ cases disponibles. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$12$$ .
Ce qui nous donne : $$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {2} \end{array}\right)=\frac{12!}{2!\left(12-2\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {2} \end{array}\right)=66$$
Il y a donc $$66$$ manières différentes de placer les deux $$A$$ dans les $$12$$ cases.
$$\purple{\text{Dans un second temps :}}$$ maintenant, que nous avons placé les deux $$A$$, il nous reste à placer les $$10$$ dernières lettres.
Le nombre de permutations est alors égale à $$\red{10!}$$ .
Or : $$10!=3\;628\;800$$.
Il y a donc $$\left(\begin{array}{c} {12} \\ {2} \end{array}\right)\times3\;628\;800=66\times3\;628\;800=239\;500\;500$$ anagrammes possibles du mot $$\red{\text{JAI20ENMATHS}}$$