Combinatoire et dénombrement

Mise en situation et coefficients binomiaux : utiliser les combinaisons pour dénombrer - Exercice 3

2 min
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Une classe de terminale spécialité est composée de 2929 élèves. Le professeur propose de faire un exposé sur la vie de Blaise Pascal. Pour cela il doit constituer un groupe de 66 élèves.
Question 1

De combien de manières peut-il former ce groupe?

Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Constituer un groupe consiste à choisir 66 personnes parmi 2929. Autrement dit, c'est une combinaison de 66 éléments dans un ensemble de 2929 .
    Le nombre de groupes de 66 différents est alors :
    (296)=29!6!(29−6)!\left(\begin{array}{c} {29} \\ {6} \end{array}\right)=\frac{29!}{6!\left(29-6\right)!}
    Ainsi : (296)=475\left(\begin{array}{c} {29} \\ {6} \end{array}\right)=475 020020
    Il y a donc 475475 020020 possibilités de groupes de 66 élèves .
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}