Mise en situation et coefficients binomiaux : utiliser les combinaisons pour dénombrer - Exercice 2

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Lina, Adam, Adil et Aaron démarrent une partie de tarot qui est composée de 7878 cartes. Chaque joueur doit recevoir 1818 cartes . Cet ensemble de 1818 cartes est appelée « une main ».
Il restera à la fin 66 cartes non distribuées que l'on appelle le chien .
Question 1

Combien existe-t-il de mains différentes possibles ?

Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Une main est une combinaison de 1818 éléments dans un ensemble de 7878 . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
    (7818)=78!18!(78−18)!\left(\begin{array}{c} {78} \\ {18} \end{array}\right)=\frac{78!}{18!\left(78-18\right)!}
    Le résultat à la calculatrice est énorme nous trouvons approximativement un nombre égale à 2,126×10172,126 \times 10^{17} possibilités !!
    Nous laisserons donc le résultalt sous la forme (7818)=78!18!×60!\left(\begin{array}{c} {78} \\ {18} \end{array}\right)=\frac{78!}{18!\times 60!}
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}
    Question 2

    Combien existe-t-il de chiens différents possibles ?

    Correction
  • (np)\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right) est appelé coefficient binomial et se prononce " pp parmi nn " .
  • (np)=n!p!(n−p)!\left(\begin{array}{c} {n} \\ {p} \end{array}\right)=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
  • 0!=10!=1
    • On ne tient pas compte de l’ordre.\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}} Un chien est une combinaison de 66 éléments dans un ensemble de 7878 . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
    (786)=78!6!(78−6)!\left(\begin{array}{c} {78} \\ {6} \end{array}\right)=\frac{78!}{6!\left(78-6\right)!}
    Le résultat à la calculatrice est énorme nous trouvons exactement (786)=256\left(\begin{array}{c} {78} \\ {6} \end{array}\right)=256 851851 595595 de chiens possibles !!
    Dans une combinaison\text{\purple{combinaison}}, il n’y a pas de notion d’ordre\text{\red{il n'y a pas de notion d'ordre}}

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