Mise en situation et coefficients binomiaux : utiliser les combinaisons pour dénombrer - Exercice 1

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Une main est une combinaison de $$6$$ éléments dans un ensemble de $$32$$ . Il en résulte donc que le nombre de mains différentes est alors égale à :
$$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {6} \end{array}\right)=\frac{32!}{6!\left(32-6\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {6} \end{array}\right)=906$$ $$192$$
Il y a donc $$906$$ $$192$$ de mains différentes.

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Il s'agit d'une combinaison de $$3$$ éléments dans un ensemble de $$32$$ . Ainsi :
$$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=\frac{32!}{3!\left(32-3\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {32} \\ {3} \end{array}\right)=4$$ $$960$$
Il y a donc $$4$$ $$960$$ façons différentes de choisir $$3$$ cartes parmi les $$32$$.

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Il s'agit d'une combinaison de $$5$$ éléments dans un ensemble de $$8$$ . Ainsi :
$$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {5} \end{array}\right)=\frac{8!}{5!\left(8-5\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {5} \end{array}\right)=56$$
Il y a donc $$56$$ façons différentes de choisir $$5$$ cartes parmi les trèfles.

$$\text{\red{On ne tient pas compte de l'ordre.}}$$ Il s'agit d'une combinaison de $$7$$ éléments dans un ensemble de $$8$$ . Ainsi :
$$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {7} \end{array}\right)=\frac{8!}{7!\left(8-7\right)!}$$
Ainsi : $$\left(\begin{array}{c} {8} \\ {7} \end{array}\right)=8$$
Il y a donc $$8$$ façons différentes de choisir $$7$$ cartes parmi les piques.