Combinatoire et dénombrement

Manipuler les factorielles - Exercice 2

8 min
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Question 1

Simplifier : A=5!×6A=5!\times 6

Correction
La factorielle d'un nombre entier nn, notée n!n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n :
n!=1×2×3×…×nn!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n
A=5!×6A=\red{5!}\times 6 équivaut successivement à :
A=(1×2×3×4×5)×6A=\left(\red{1\times 2\times 3\times 4\times 5}\right)\times 6
Ainsi :
A=6!A=6!

Question 2

Simplifier : B=7!5!B=\frac{7!}{5!}

Correction
La factorielle d'un nombre entier nn, notée n!n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n :
n!=1×2×3×…×nn!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n
B=7!5!B=\frac{7!}{5!} équivaut successivement à :
B=1×2×3×4×5×6×71×2×3×4×5B=\frac{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7}{1\times 2\times 3\times 4\times 5}
B=1×2×3×4×5×6×71×2×3×4×5B=\frac{\cancel{ \color{blue}1}\times \cancel{ \color{blue}2}\times \cancel{ \color{blue}3}\times \cancel{ \color{blue}4}\times \cancel{ \color{blue}5}\times 6\times 7}{\cancel{ \color{blue}1}\times \cancel{ \color{blue}2}\times \cancel{ \color{blue}3}\times \cancel{ \color{blue}4}\times \cancel{ \color{blue}5}}
B=6×7B=6\times 7
Ainsi :
B=42B=42

Question 3

Soit nn un entier naturel. Simplifier : C=n!×(n+1)C=n!\times \left(n+1\right)

Correction
C=n!×(n+1)C=\red{n!}\times \left(n+1\right) équivaut successivement à :
C=(1×2×3×…×n)×(n+1)C=\left(\red{1\times 2\times 3\times \ldots \times n}\right)\times \left(n+1\right)
Ainsi :
C=(n+1)!C=\left(n+1\right)!

Question 4

Soit nn un entier naturel tel que n≥2n\ge 2. Simplifier : D=(n+2)!(n−1)!D=\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!}

Correction
D=(n+2)!(n−1)!D=\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n-1\right)!} équivaut successivement à :
D=(n−1)!×n×(n+1)×(n+2)(n−1)!D=\frac{\left(n-1\right)!\times n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)}{\left(n-1\right)!}
D=(n−1)!×n×(n+1)×(n+2)(n−1)!D=\frac{\cancel{ \color{blue}\left(n-1\right)!}\times n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)}{\cancel{ \color{blue}\left(n-1\right)!}}
D=n×(n+1)×(n+2)D=n\times \left(n+1\right)\times \left(n+2\right)
Ainsi :
D=n(n+1)(n+2)D=n \left(n+1\right) \left(n+2\right)

Question 5

Soit nn un entier naturel non nul. Simplifier : E=(n!)2n!×(n+1)E=\frac{\left(n!\right)^{2} }{n!\times \left(n+1\right)}

Correction
E=(n!)2n!×(n+1)E=\frac{\left(n!\right)^{2} }{n!\times \left(n+1\right)} équivaut successivement à :
E=n!×n!n!×(n+1)E=\frac{n!\times n!}{n!\times \left(n+1\right)}
E=n!×n!n!×(n+1)E=\frac{\cancel{ \color{blue}n!}\times n!}{\cancel{ \color{blue}n!}\times \left(n+1\right)}
Ainsi :
E=n!n+1E=\frac{n!}{n+1}