Combinatoire et dénombrement

Exercices types : Des probas et des suites

Exercice 1

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :
  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est 14\frac{1}{4}
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est 12\frac{1}{2}
  • La probabilité de gagner la première partie est 14\frac{1}{4}
  • Pour tout entier naturel nn non nul, on note GnG_{n} l’évènement « la nième partie est gagnée » et on note pnp_{n} la probabilité de cet évènement. On a donc p1=14p_{1} =\frac{1}{4}
    1

    Montrer que p2=716p_{2} =\frac{7}{16} .

    Correction
    2

    Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, pn+1=14pn+12p_{n+1}=-\frac{1}{4}p_{n} +\frac{1}{2} .

    Correction
    On obtient ainsi les premières valeurs de pnp_{n} :
    3

    Quelle conjecture peut-on émettre?

    Correction
    On définit, pour tout entier naturel nn non nul, la suite (un)\left(u_{n}\right) par un=pn25u_{n}=p_{n}-\frac{2}{5} .
    4

    Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

    Correction
    5

    En déduire que, pour tout entier naturel nn non nul, pn=25320(14)n1p_{n} =\frac{2}{5} -\frac{3}{20} \left(-\frac{1}{4} \right)^{n-1} .

    Correction
    6

    La suite (pn)\left(p_{n}\right) converge-t-elle? Interpréter ce résultat.

    Correction

    Exercice 2

    Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.
    On a observé que :
    Si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est 0,30,3.
    Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est 0,80,8.
    Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.

    Pour tout entier naturel n non nul, on considère l'évènement :
    • TnT_{n} : « le manchot utilise le toboggan lors de son nn-ième passage. »
    • PnP_{n} : « le manchot utilise le plongeoir lors de son nn-ième passage. »
    On considère alors la suite (un)\left(u_{n} \right)définie pour tout entier naturel n1n\ge 1 par :
    un=p(Tn)u_{n} =p\left(T_{n} \right)un=p(Tn)u_{n} =p\left(T_{n} \right) est la probabilité de l'évènement TnT_{n} .
    1

    Donner les valeurs des probabilités p(T1)p\left(T_{1} \right), p(P1)p\left(P_{1} \right) et des probabilités conditionnelles pT1(T2)p_{T_{1} } \left(T_{2} \right) et pP1(T2)p_{P_{1} } \left(T_{2} \right).

    Correction
    2

    Montrer que p(T2)=14p\left(T_{2} \right)=\frac{1}{4} .

    Correction
    3

    Recopier et compléter l'arbre suivant :

    Correction
    4

    Démontrer que pour tout entier n1n\ge 1, un+1=0,1un+0,2u_{n+1} =0,1u_{n} +0,2

    Correction
    5

    A l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

    Correction
    On considère la suite (vn)\left(v_{n} \right) définie pour tout entier naturel n1n\ge 1 par : vn=un29v_{n} =u_{n} -\frac{2}{9} .
    6

    Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 110\frac{1}{10} .
    Préciser son premier terme.

    Correction
    7

    Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.
    En déduire l'expression de unu_{n} en fonction de nn.

    Correction
    8

    Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).
    Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise à la question 5 ?

    Correction
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