Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

15 min
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Une urne contient dix boules : trois boules bleues, six boules jaunes et une boule noire indiscernables au toucher.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
On considère les évènements suivants :
  • AA : « Obtenir trois boules bleues »
  • BB : « Obtenir trois boules de même couleur »
  • CC : « Obtenir au moins deux boules de même couleur »
Question 1

Calculer p(A)p\left(A\right) .

Correction
Les boules sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard 33 boules, il faut une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 1010.
Pour tirer 33 boules bleues. Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 33.
Nous pouvons maintenant calculer p(A)=nombre des issues favorables nombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } }{\text{nombre des issues possibles}}
Ainsi :
P(A)=(33)(103)P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right)}
Ainsi :
P(A)=1120P\left(A\right)=\frac{1}{120}
Question 2

Calculer p(B)p\left(B\right) .

Correction
  • BB : « Obtenir trois boules de même couleur »
    • L'évènement BB se réalise si l'on tire 33 boules bleues ou 33 boules jaunes.
    Pour tirer 33 boules bleues. Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 33.
    Pour tirer 33 boules jaunes. Il s'agit d'une combinaison de 33 éléments dans un ensemble de 66.
    Il en résulte donc que :
    P(B)=(33)+(63)(103)P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right)}
    P(B)=1+20120P\left(B\right)=\frac{1+20}{120}
    P(B)=21120P\left(B\right)=\frac{21}{120}
    P(B)=3×73×40P\left(B\right)=\frac{3\times 7}{3\times 40}
    P(B)=3×73×40P\left(B\right)=\frac{\cancel{3}\times 7}{\cancel{3}\times 40}
    Ainsi :
    P(B)=740P\left(B\right)=\frac{7}{ 40}
    Question 3

    Calculer p(C)p\left(C\right) .

    Correction
  • CC : « Obtenir au moins deux boules de même couleur »
    • On peut également traduire l'évènement CC sous la forme « Obtenir exactement deux boules de la même couleur ou exactement trois boules de la même couleur »
    Afin de répondre à cette question, on va déterminer l'évènement contraire de CC que nous allons noter C‾\overline{C} .
    Il en résulte donc que :
  • C‾\overline{C} : « Obtenir trois boules de couleurs différentes »
    • Il faut donc tirer simultanément, 11 boule bleue et 11 boule jaune et 11 boule noire.
    Pour tirer 11 boule bleue. Il s'agit d'une combinaison d'11 élément dans un ensemble de 33.
    Pour tirer 11 boule jaune. Il s'agit d'une combinaison d'11 élément dans un ensemble de 66.
    Pour tirer 11 boule noire. Il s'agit d'une combinaison d'11 élément dans un ensemble de 11.
    Ainsi :
    p(C‾)=(31)×(61)×(11)(103)p\left(\overline{C}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {6} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right)}
    p(C‾)=3×6×1120p\left(\overline{C}\right)=\frac{3\times 6\times 1}{120}
    D'où : p(C‾)=18120p\left(\overline{C}\right)=\frac{18}{120}
    Soit AA un évènement quelconque et A‾\overline{A} son évènement contraire ( ou complémentaire ), on a :
    • P(A‾)=1−P(A)P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)
    Finalement :
    p(C)=1−p(C‾)p\left(C\right)=1-p\left(\overline{C}\right)
    p(C)=1−18120p\left(C\right)=1-\frac{18}{120}
    p(C)=102120p\left(C\right)=\frac{102}{120}
    p(C)=17×620×6p\left(C\right)=\frac{17\times\cancel{6}}{20\times\cancel{6}}
    On peut alors conclure que :
    p(C)=1720p\left(C\right)=\frac{17}{20}