Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Les boules sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard $$2$$ boules, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$5$$.
Pour tirer $$0$$ boule verte, il nous faut donc tirer uniquement $$2$$ boules rouges. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$3$$.
Nous pouvons maintenant calculer $$p\left(X=0\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } }{\text{nombre des issues possibles}}$$
Ainsi :
$$P\left(X=0\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=0\right)=\frac{3}{10}$$
Ainsi :

Pour déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $$X$$, il va nous falloir calculer dans un premier temps $$p\left(X=1\right)$$ puis $$p\left(X=2\right)$$ .

$$\blue{\text{Calcul de}}$$ $$\blue{p\left(X=1\right)}$$

Il faut donc tirer $$1$$ boule verte parmi les $$2$$ boules vertes et $$1$$ boule rouge parmi les $$3$$ boules rouges. Ce qui nous donne :
$$P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=1\right)=\frac{2\times3}{10}$$
Ainsi :

$$\blue{\text{Calcul de}}$$ $$\blue{p\left(X=2\right)}$$

Pour tirer $$2$$ boules vertes, il nous faut donc tirer uniquement les $$2$$ boules vertes et aucunes rouges. Il s'agit d'une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$2$$. Ce qui nous donne :
$$P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {5} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=2\right)=\frac{1}{10}$$
Ainsi :
Nous pouvons maintenant donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $$X$$.

Calculons l'espérance ( on peut également considérer que l'espérance est la moyenne )
$$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$$
$$E\left(X\right)=0\times 0,3+1\times 0,6+2\times 0,1$$
Soit :

Il faut donc que les deux boules soient rouges ou alors que les deux boules soient vertes.
Il en résulte donc que :
$$p\left(A\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=2\right)$$
$$p\left(A\right)=0,3+0,1$$
Ainsi :

Notons les événements suivants pour déterminer l'arbre pondéré.

$$V_1\;:«$$ la boule tirée au premier tirage est verte $$\;»$$ et $$R_1\;:«$$ la boule tirée au premier tirage est rouge $$\;»$$

$$V_2\;:«$$ la boule tirée au deuxième tirage est verte $$\;»$$ et $$R_2\;:«$$ la boule tirée au deuxième tirage est rouge $$\;»$$

On a ainsi :

Notons $$B\;:«$$ une seule des deux boules tirées soit verte $$\;»$$ .
Il faut donc tirer soit une boule verte au premier tirage suivie d'une boule rouge ou alors tirer une boule rouge au premier tirage suivi d'une boule verte. Il vient alors que :
$$p\left(B\right)=p\left(R_{1} \cap V_{2} \right)+p\left(V_{1} \cap R_{2} \right)$$
$$p\left(B\right)=p\left(R_{1} \right)\times p_{R_{1} } \left(V_{2} \right)+p\left(V_{1} \right)\times p_{V_{1} } \left(R_{2} \right)$$
$$p\left(B\right)=0,6\times 0,4+0,4\times 0,75$$
D'où :

Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle.
$$p_{B} \left(V_{1} \right)=\frac{p\left(V_{1} \cap B\right)}{p\left(B\right)}$$ . Dans notre situation, $$p\left(V_{1} \cap B\right)=p\left(V_{1} \cap R_2\right)$$ car il faut que nous tirions qu'une seule boule verte parmi les deux.
$$p_{B} \left(V_{1} \right)=\frac{0,4\times 0,75}{0,54}$$
Finalement :