Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

15 min
30
Question 1
Un sac contient 1010 jetons indiscernables au toucher : 77 jetons blancs numérotés de 11 à 77 et 33 jetons noirs numérotés de 11 à 33.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.

On note AA l’événement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’événement AA est égale à p(A)=715p\left(A\right)=\frac{7}{15}.

Correction
Les jetons sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard 22 jetons, il faut une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 1010.
Pour tirer 22 jetons blancs, il faut une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 77.
Nous pouvons maintenant calculer p(A)=nombre des issues favorables Anombre des issues possiblesp\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}
Ainsi :
P(A)=(72)(102)P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}
P(A)=2145P\left(A\right)=\frac{21}{45}
Ainsi :
P(A)=715P\left(A\right)=\frac{7}{15}
Question 2

On note BB l’événement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ».
Calculer la probabilité de BB.

Correction
Les jetons sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard 22 jetons, il faut une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 1010.
Pour tirer 22 jetons portant des numéros impairs, il faut une combinaison de 22 éléments dans un ensemble de 66. Nous avons effectivement 66 jetons portant des numéros impairs.
Nous pouvons maintenant calculer p(B)=nombre des issues favorables Bnombre des issues possiblesp\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}
Ainsi :
P(B)=(62)(102)P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}
P(B)=1545P\left(B\right)=\frac{15}{45}
Ainsi :
P(B)=13P\left(B\right)=\frac{1}{3}
Question 3

Les événements AA et BB sont-ils indépendants ?

Correction
    Deux événements AA et BB sont indépendants si et seulement si :
  • P(AB)=P(A)×P(B)P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right) \times P\left(B\right)
Il va nous falloir calculer l’événement ABA\cap B qui correspond aux 44 jetons blancs portant des numéros impairs.
Ainsi :
P(AB)=(42)(102)=215P\left(A\cap B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}=\frac{2}{15}
Or :
P(A)×P(B)=715×13P\left(A\right)\times P\left(B\right)=\frac{7}{15} \times \frac{1}{3}
P(A)×P(B)=745P\left(A\right)\times P\left(B\right)=\frac{7}{45}
Ainsi :
P(A)×P(B)P(AB)P\left(A\right)\times P\left(B\right)\ne P\left(A\cap B\right)

les événements AA et BB ne sont pas indeˊpendants .\red{\text{ne sont pas indépendants .}}
Question 4
Soit XX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

Déterminer la loi de probabilité de XX.

Correction
La variable aléatoire prend les valeurs 00 ; 11 ou 22.
Pour avoir 0 jeton blanc\blue{\text{Pour avoir 0 jeton blanc}} : il faut donc tirer 00 jeton blanc parmi les 77 jetons blancs et\red{\text{et}} 22 jetons noirs parmi les 33 jetons noirs. Ce qui nous donne :
P(X=0)=(70)×(32)(102)P\left(X=0\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {0} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}
P(X=0)=115P\left(X=0\right)=\frac{1}{15}

Pour avoir 1 jeton blanc\blue{\text{Pour avoir 1 jeton blanc}} : il faut donc tirer 11 jeton blanc parmi les 77 jetons blancs et\red{\text{et}} 11 jeton noir parmi les 33 jetons noirs. Ce qui nous donne :
P(X=1)=(71)×(31)(102)P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {1} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}
P(X=1)=715P\left(X=1\right)=\frac{7}{15}

Pour avoir 2 jetons blanc\blue{\text{Pour avoir 2 jetons blanc}} : il faut donc tirer 22 jetons blancs parmi les 77 jetons blancs et\red{\text{et}} 00 jeton noir parmi les 33 jetons noirs. Ce qui nous donne :
P(X=2)=(72)×(30)(102)P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}
P(X=2)=715P\left(X=2\right)=\frac{7}{15}
Nous dressons ci-dessous la loi de probabilité de XX :
Question 5

Calculer l’espérance mathématique de XX.

Correction
On appelle l’espérance mathématique de la variable XX, la quantité notée E(X)E\left(X\right) définie par :
  • E(X)=xi×pi=x1×p1+x2×p2++xn×pnE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i} =x_{1} \times p_{1}+x_{2} \times p_{2}+\ldots+ x_{n} \times p_{n}
Ainsi :
E(X)=xi×piE\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}
E(X)=0×115+1×715+2×715E\left(X\right)=0\times \frac{1}{15} +1\times \frac{7}{15} +2\times \frac{7}{15}
D'où :
E(X)=75E\left(X\right)=\frac{7}{5}