Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Les jetons sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard $$2$$ jetons, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$10$$.
Pour tirer $$2$$ jetons blancs, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$7$$.
Nous pouvons maintenant calculer $$p\left(A\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } A}{\text{nombre des issues possibles}}$$
Ainsi :
$$P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(A\right)=\frac{21}{45}$$
Ainsi :

Les jetons sont indiscernables au toucher, cela traduit donc la notion d'équiprobabilité.
De manière générale, pour tirer au hasard $$2$$ jetons, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$10$$.
Pour tirer $$2$$ jetons portant des numéros impairs, il faut une combinaison de $$2$$ éléments dans un ensemble de $$6$$. Nous avons effectivement $$6$$ jetons portant des numéros impairs.
Nous pouvons maintenant calculer $$p\left(B\right)=\frac{\text{nombre des issues favorables } B}{\text{nombre des issues possibles}}$$
Ainsi :
$$P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(B\right)=\frac{15}{45}$$
Ainsi :

Il va nous falloir calculer l’événement $$A\cap B$$ qui correspond aux $$4$$ jetons blancs portant des numéros impairs.
Ainsi :
$$P\left(A\cap B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}=\frac{2}{15}$$
Or :
$$P\left(A\right)\times P\left(B\right)=\frac{7}{15} \times \frac{1}{3}$$
$$P\left(A\right)\times P\left(B\right)=\frac{7}{45}$$
Ainsi :
les événements $$A$$ et $$B$$ $$\red{\text{ne sont pas indépendants .}}$$

La variable aléatoire prend les valeurs $$0$$ ; $$1$$ ou $$2$$.
$$\blue{\text{Pour avoir 0 jeton blanc}}$$ : il faut donc tirer $$0$$ jeton blanc parmi les $$7$$ jetons blancs $$\red{\text{et}}$$ $$2$$ jetons noirs parmi les $$3$$ jetons noirs. Ce qui nous donne :
$$P\left(X=0\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {0} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=0\right)=\frac{1}{15}$$

$$\blue{\text{Pour avoir 1 jeton blanc}}$$ : il faut donc tirer $$1$$ jeton blanc parmi les $$7$$ jetons blancs $$\red{\text{et}}$$ $$1$$ jeton noir parmi les $$3$$ jetons noirs. Ce qui nous donne :
$$P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {1} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=1\right)=\frac{7}{15}$$

$$\blue{\text{Pour avoir 2 jetons blanc}}$$ : il faut donc tirer $$2$$ jetons blancs parmi les $$7$$ jetons blancs $$\red{\text{et}}$$ $$0$$ jeton noir parmi les $$3$$ jetons noirs. Ce qui nous donne :
$$P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c} {7} \\ {2} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} {10} \\ {2} \end{array}\right)}$$
$$P\left(X=2\right)=\frac{7}{15}$$
Nous dressons ci-dessous la loi de probabilité de $$X$$ :

Ainsi :
$$E\left(X\right)=\sum x_{i} \times p_{i}$$
$$E\left(X\right)=0\times \frac{1}{15} +1\times \frac{7}{15} +2\times \frac{7}{15}$$
D'où :