Combinatoire et dénombrement

Exercices types : 11ère partie - Exercice 4

5 min
15
Pour entrer dans une résidence, il faut entrer un code composé de 44 chiffres et de 33 lettres. On note AA l'ensemble des chiffres et BB l'ensemble des lettres.
Question 1

Combien y'a t-il de codes possibles?

Correction
    Principe multiplicatif\red{\text{Principe multiplicatif}}
  • A1,A2,A3,…,AnA_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,\ldots ,A_{n} sont nn ensembles finis alors : card(A1×A2×A3×…×An)=card(A1)×card(A2)×card(A3)×…×card(An)\text{card}\left(A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times \ldots \times A_{n} \right)=\text{card}\left(A_{1}\right)\times\text{card}\left(A_{2}\right)\times\text{card}\left(A_{3}\right) \times\ldots \times\text{card}\left( A_{n} \right)
  • Soit EE un ensemble fini à n{\color{blue}{n}} éléments et p{\color{red}{p}} un entier naturel non nul. On a alors : card(Ep)=np\text{card}\left(E^{{\color{red}{p}}} \right)={\color{blue}{n}}^{{\color{red}{p}}}
    • On note AA l'ensemble des chiffres et BB l'ensemble des lettres. Ainsi :
  • card(A)=10\text{card}\left(A\right)=10
    car l'ensemble A={0;1;2;3…;8;9}A=\left\{0;1;2;3\ldots ;8;9\right\}
  • card(B)=26\text{card}\left(B\right)=26
    car il y a 2626 lettres dans notre alphabet
    • Il nous faut choisir 44 chiffres, il y a donc card(A4)=104\text{card}\left(A^{4}\right)=10^{4} possibilités .
    Il nous également faut choisir 33 lettres, il y a donc card(B3)=263\text{card}\left(B^{3}\right)=26^{3} possibilités.
    Finalement, le nombre de codes possibles pour entrer dans la résidence, est alors :
    card(A4×B3)=card(A4)×card(B3)\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=\text{card}\left(A^{4} \right)\times \text{card}\left(B^{3} \right)
    card(A4×B3)=104×263\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=10^{4}\times 26^{3}
    Ainsi :
    card(A4×B3)=175  760  000\text{card}\left(A^{4} \times B^{3} \right)=175\;760\;000

    Il y a donc 175  760  000175\;760\;000 possibilités de codes ! Vaut mieux ne pas l'oublier :)